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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2023

MatemáticaProbabilidade
Código
fg058975
Banca
FGV
Órgão
AGENERSA - RJ
Ano
2023
Nível
Médio
Cargo
Assistente Técnico de Regulação
Em uma caixa há 5 cartas e cada uma delas contém um dos números: 1, 3, 4, 5, 8. Não aparece o mesmo número em duas cartas.Duas cartas são retiradas da caixa ao acaso.A probabilidade de que o produto dos números dessas cartas seja um número par é de
  1. A30%.
  2. B40%.
  3. C50%.
  4. D60%.
  5. E70%.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 70%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 70% (alternativa E).

A ideia por trás

A probabilidade mede a chance de um evento acontecer, calculada como a razão entre os casos favoráveis e o total de casos possíveis. Quando o espaço amostral é finito e os eventos são igualmente prováveis, usamos a contagem de combinações. Nesta questão, o produto de dois números é par se pelo menos um dos fatores for par; o complemento (produto ímpar) exige que ambos sejam ímpares. Como é mais fácil contar os casos ímpares, usamos o evento complementar: P(par) = 1 - P(ímpar).

O que a questão dá

  • 5 cartas com números 1, 3, 4, 5, 8

  • 3 números ímpares (1, 3, 5)

  • 2 números pares (4, 8)

O que queremos: a probabilidade de que o produto dos números das duas cartas retiradas seja par

Passo 1 — Contar o total de retiradas possíveis

Precisamos saber quantos resultados diferentes existem ao retirar duas cartas de um total de cinco. Como a ordem das cartas não importa (retirar 1 e 3 é o mesmo que 3 e 1), usamos combinação.

Por que esta fórmula: A combinação C(n, k) conta de quantas maneiras podemos escolher k elementos de um conjunto de n, sem considerar a ordem. Aqui escolhemos 2 cartas entre 5.

C5,2=5!3!⋅2!C_{5,2} = \frac{5!}{3! \cdot 2!}

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: há 5 cartas · 22 = enunciado: retiram-se 2 cartas

C5,2=5⋅4⋅3!3!⋅2⋅1=10C_{5,2} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot 2 \cdot 1} = \boxed{10}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo (5 × 4 = 20) em vez de combinação, contando cada par duas vezes.

Passo 2 — Contar os casos com produto ímpar

Para o produto ser ímpar, as duas cartas precisam ser ímpares. Entre as 5 cartas, temos 3 ímpares (1, 3, 5). Contamos quantas duplas de ímpares existem.

Por que esta fórmula: Novamente usamos combinação, agora escolhendo 2 cartas entre as 3 ímpares.

C3,2=3!1!⋅2!C_{3,2} = \frac{3!}{1! \cdot 2!}

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: há 3 números ímpares (1, 3, 5) · 22 = enunciado: retiram-se 2 cartas

C3,2=3⋅2!1!⋅2!=3C_{3,2} = \frac{3 \cdot 2!}{1! \cdot 2!} = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Contar apenas os pares (4 e 8) como favoráveis, esquecendo que o produto ímpar é o complemento.

Passo 3 — Calcular a probabilidade do produto ímpar

A probabilidade clássica é a razão entre os casos favoráveis e o total de casos. Aqui, os casos favoráveis ao produto ímpar são as 3 duplas de ímpares, e o total é 10.

Por que esta fórmula: P(ímpar) = casos favoráveis / casos possíveis.

P(ıˊmpar)=C3,2C5,2P(ímpar) = \frac{C_{3,2}}{C_{5,2}}

De onde vem cada valor: C3,2C_{3,2} = passo 2: 3 · C5,2C_{5,2} = passo 1: 10

P(ıˊmpar)=310=3 /10P(ímpar) = \frac{3}{10} = \boxed{3\ /10}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir e usar apenas 3 como resposta.

Passo 4 — Subtrair de 1 para achar a probabilidade pedida

O evento 'produto par' é o complemento do evento 'produto ímpar'. Como todo resultado ou é par ou é ímpar, a soma das probabilidades é 1. Então subtraímos a probabilidade ímpar de 1.

Por que esta fórmula: P(par) = 1 - P(ímpar), pois são eventos complementares.

P(par)=1−P(ıˊmpar)P(par) = 1 - P(ímpar)

De onde vem cada valor: P(ıˊmpar)P(ímpar) = passo 3: 3/10

P(par)=1−310P(par) = 1 - \frac{3}{10}
7/10=70 %7/10 = \boxed{70\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Parar no 3/10 e marcar 30% (alternativa A).

Resposta: 70% (alternativa E)

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