Questão de Matemática — Porcentagem — FGV 2023

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 135,00 (alternativa D).

A ideia por trás

Porcentagem é uma forma de representar uma parte de um todo: 20% significa 20 de cada 100, ou seja, 20/100 = 0,2. Quando dizemos que alguém gastou 20% do que tinha, estamos dizendo que ele gastou 0,2 vezes o valor inicial. Frações como 3/5 também representam partes do todo: 3/5 de x é o mesmo que (3/5)·x. A ideia central deste problema é que o valor inicial é a soma de tudo que foi gasto com o que sobrou: gasto1 + gasto2 + restante = inicial. Isso sempre vale, pois o dinheiro não some nem aparece do nada. Nesta questão, precisamos montar essa equação usando as porcentagens e frações dadas, e então resolvê-la para descobrir x.

O que a questão dá

• quantia inicial = x (desconhecida)

• primeira compra = 20% de x

• segunda compra = 27 reais

• restante = 3/5 de x

O que queremos: o valor da quantia inicial x

Passo 1 — Montar a equação do problema

Precisamos transformar o texto em uma equação matemática. O valor inicial x é a soma de tudo que foi gasto (20% de x e 27 reais) com o que sobrou (3/5 de x). Essa é a relação fundamental: o todo é a soma das partes.

Por que esta fórmula: Porque o dinheiro que ele tinha no início (x) se divide em três partes: o que gastou na primeira compra (20% de x), o que gastou na segunda (27) e o que restou (3/5 de x). Somando essas partes, recuperamos o total.

De onde vem cada valor: $0{,}2x$ = enunciado: gastou 20% do que tinha · $27$ = enunciado: gastou 27 reais · $\frac{3}{5}x$ = enunciado: ainda tinha três quintos da quantia inicial · $x$ = enunciado: quantia inicial (incógnita)

Passo 2 — Transformar 0,2 em fração

Para facilitar a soma com a fração 3/5, é melhor escrever 0,2 como fração. 0,2 é o mesmo que 2/10, que simplificado é 1/5. Assim, os dois termos com x ficam com o mesmo denominador.

Por que esta fórmula: 0,2 = 2/10 = 1/5, pois dividindo numerador e denominador por 2 obtemos a fração irredutível.

De onde vem cada valor: $0{,}2$ = passo 1 · $\frac{1}{5}$ = equivalência decimal-fração

Passo 3 — Somar as frações com x

Temos dois termos com x: 1/5 x e 3/5 x. Como têm o mesmo denominador, podemos somar os numeradores: 1 + 3 = 4, mantendo o denominador 5. Isso simplifica a equação.

Por que esta fórmula: Para somar frações com o mesmo denominador, somamos os numeradores e conservamos o denominador.

De onde vem cada valor: $\frac{1}{5}x$ = passo 2 · $\frac{3}{5}x$ = passo 1

Passo 4 — Isolar o x na equação

Agora temos uma equação do primeiro grau: 4/5 x + 27 = x. Para descobrir x, precisamos deixá-lo sozinho de um lado. Subtraímos 4/5 x dos dois lados, o que é válido pois mantém a igualdade.

Por que esta fórmula: Subtrair a mesma quantidade dos dois lados não altera a igualdade. Assim, eliminamos o termo com x do lado esquerdo.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 3 (lado direito) · $\frac{4}{5}x$ = passo 3 (lado esquerdo) · $27$ = passo 3

Passo 5 — Calcular a diferença das frações

Precisamos simplificar x - 4/5 x. Como x é o mesmo que 1x, podemos escrever 1 - 4/5 = 1/5. Assim, a equação fica 1/5 x = 27.

Por que esta fórmula: x é o mesmo que 1x, e 1 - 4/5 = 1/5, pois 1 = 5/5.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 4 · $\frac{4}{5}x$ = passo 4

Passo 6 — Multiplicar por 5 para achar x

Temos 1/5 x = 27. Para isolar x, multiplicamos os dois lados por 5, pois (1/5)·5 = 1. Isso nos dá o valor de x.

Por que esta fórmula: Multiplicar pelo inverso da fração elimina o denominador: (1/5)x · 5 = x.

De onde vem cada valor: $27$ = passo 5 · $5$ = inverso de 1/5

Resposta: R$ 135,00 (alternativa D)