Matemática Financeira · FGV · 2023 | Questão sqc-fg059596

Taxas Equivalentes em Juros Compostos

Gabarito: letra A. A taxa mensal composta equivalente a 33,1% ao trimestre é de 10%, pois $(1+0,10)^3 = 1,331$ — exatamente o fator de 33,1%.

Em juros compostos, a equivalência entre taxas periódicas obedece à relação: $1 + i_{\text{trimestre}} = (1 + i_{\text{mês}})^3$ . Dado $i_{\text{trimestre}} = 33,1\% = 0,331$ , temos $(1 + i_{\text{mês}})^3 = 1,331$ . Extraindo a raiz cúbica: $1 + i_{\text{mês}} = \sqrt[3]{1,331} = 1,1$ , logo $i_{\text{mês}} = 0,1 = 10\%$ .

NÃO CAIA NESSA!

O erro mais frequente é dividir 33,1% por 3, obtendo aproximadamente 11,03% (alternativa C). Isso vale apenas para juros simples ou para taxas proporcionais lineares, não para equivalência composta. Lembre-se: em juros compostos, a taxa equivalente sempre é menor do que a proporcional quando se reduz o período.

Taxa Mensal (i_mês)	Fator (1 + i_mês)	Fator ao Cubo (1 + i_mês)³	Taxa Trimestral Equivalente	Comparação com 33,1%
10%	1,1	1,331	33,1%	Igual (correto)
11%	1,11	1,367631	36,7631%	Maior (incorreto)
11,03%	1,1103	1,368...	≈ 36,8%	Maior (incorreto)
12%	1,12	1,404928	40,4928%	Maior (incorreto)
15%	1,15	1,520875	52,0875%	Maior (incorreto)

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O cálculo está correto: $\sqrt[3]{1,331} - 1 = 0,1 = 10\%$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

11% é um valor próximo, mas não exato. O erro decorre de uma aproximação grosseira ou de confundir a raiz cúbica com uma divisão simples.

Alternativa C — ❌ Incorreta

11,03% é resultado da divisão $33,1\% / 3 = 11,0333\%$ , que corresponde à taxa proporcional linear (juros simples) e não à taxa equivalente composta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

12% não corresponde a nenhum cálculo direto; é superior ao valor correto e não tem relação com a operação.

Alternativa E — ❌ Incorreta

15% também é um valor arbitrário, bem acima da taxa correta.

Gabarito: letra A.