Questão de Matemática — Sistemas de Numeração e Operações Fundamentais — FGV 2023

Conjuntos: diferença e complementar

Gabarito: letra E. O conjunto pedido — elementos que não estão em A ou estão em B — é exatamente o conjunto $B$, pois a expressão $A^c \cup B$ (complementar de A unido com B) contém todos os elementos de B e, fora de B, apenas os que não pertencem a A. Como $A \cup B = \{1,2,3,4,5,6,7\}$ e $A - B = \{1,2,5\}$, os elementos que estão em B são todos os da união exceto os que estão só em A: $B = \{3,4,6,7\}$.

A questão trabalha com três operações básicas de conjuntos: união ($\cup$), diferença ($A - B$) e complementar ($A^c$). A diferença $A - B$ é o conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. O complementar de A (em relação ao universo $U = A \cup B$) é o conjunto dos elementos de U que não estão em A. A expressão "não estão em A ou estão em B" é a união do complementar de A com o próprio B: $A^c \cup B$.

Como $B \subseteq A^c \cup B$ (todo elemento de B está na união), e os elementos de $A^c$ que não estão em B são exatamente os que não estão em A nem em B — mas, como $U = A \cup B$, todo elemento de U ou está em A ou está em B, então $A^c \subseteq B$. Logo, $A^c \cup B = B$. Portanto, basta encontrar o conjunto B.

Para achar B, partimos da união e retiramos os elementos que estão apenas em A (a diferença $A - B$):

Assim, o conjunto pedido é $\{3,4,6,7\}$, que corresponde à letra E.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $\{3,4\}$, que é apenas parte de B — faltam os elementos 6 e 7. O candidato que escolhe esta opção provavelmente considerou somente os elementos que não estão em A e estão em B (a interseção $A^c \cap B$), esquecendo que a expressão usa o conectivo "ou", que inclui todos os elementos de B.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $\{3,6\}$, que também é um subconjunto próprio de B, omitindo 4 e 7. Não há justificativa lógica para selecionar apenas esses dois elementos; provavelmente houve um erro na identificação de quais números pertencem a B.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $\{3,4,6\}$, faltando o elemento 7. O candidato pode ter esquecido que 7 também está na união e não está em $A - B$, portanto pertence a B.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $\{4,6,7\}$, faltando o elemento 3. Novamente, é um subconjunto de B incompleto — o 3 está na união e não está em $A - B$, logo pertence a B.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O conjunto $\{3,4,6,7\}$ é exatamente o conjunto B, que é o resultado de $A^c \cup B$. Como demonstrado, a expressão "não estão em A ou estão em B" equivale a B, e B é obtido retirando da união os elementos que estão apenas em A.

Gabarito: letra E