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Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — FGV 2023

Matemática FinanceiraConceitos fundamentais de Matemática Financeira
Código
fg060625
Banca
FGV
Órgão
CGE-SC
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Auditor do Estado - Ciências Contábeis - Tarde (Conhecimentos Específicos)
A fim de compor recursos para uma compra futura, César fará uma série de 12 depósitos mensais antecipados.O primeiro depósito será de R$ 3.700,00 e cada um dos demais será 20% maior do que aquele imediatamente anterior.O montante será resgatado um mês depois do último depósito, momento em que serão pagas as tarifas bancárias no valor de 10% do montante.Se, durante todo o período, desde o primeiro depósito até o resgate, os valores forem capitalizados mensalmente à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês, o valor líquido resgatado será de[Utilize as seguintes aproximações: 1,015¹² = 1,20; 1,20¹² = 9,00]
  1. AR$ 140.040,00.
  2. BR$ 140.400,00.
  3. CR$ 141.404,00.
  4. DR$ 142.308,00.
  5. ER$ 142.506,00.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — R$ 142.506,00.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Juros Compostos e Séries Geométricas

Gabarito: letra E. O valor líquido resgatado é de R$ 142.506,00, obtido pelo cálculo do valor futuro de uma série de 12 depósitos mensais antecipados em progressão geométrica (aumento de 20% ao mês), capitalizados a 1,5% ao mês, e após dedução de 10% de tarifas sobre o montante bruto.

Passo a passo

1. Definição dos depósitos

  • Primeiro depósito: P1=3.700,00P_1 = 3.700,00

  • Razão da PG: q=1,20q = 1,20 (aumento de 20%)

  • kk-ésimo depósito (início do mês kk): Pk=3.700⋅1,20k−1P_k = 3.700 \cdot 1,20^{k-1}, com k=1,2,…,12k = 1, 2, \dots, 12

2. Data focal

Os depósitos ocorrem no início de cada mês. O resgate ocorre um mês após o último depósito, ou seja, no fim do mês 12 (t = 12, contando t=0 no primeiro depósito).

Cada depósito PkP_k (feito em t=k−1t = k-1) rende juros compostos de 1,5%1,5\% ao mês até t=12t=12, ou seja, por 13−k13 - k meses.

3. Valor futuro bruto

FVtextbruto=∑k=112Pk⋅(1,015)13−k=3.700⋅∑k=1121,20k−1⋅(1,015)13−kFV_{\\text{bruto}} = \sum_{k=1}^{12} P_k \cdot (1,015)^{13-k} = 3.700 \cdot \sum_{k=1}^{12} 1,20^{k-1} \cdot (1,015)^{13-k}

Fatorando (1,015)12=1,20(1,015)^{12} = 1,20 (dado), obtemos:

1,20^{k-1} \cdot (1,015)^{13-k} = (1,015)^{12} \cdot \left(\\frac{1,20}{1,015}\\right)^{k-1} = 1,20 \cdot \left(\\frac{1,20}{1,015}\\right)^{k-1}

Assim,

FV_{\\text{bruto}} = 3.700 \cdot 1,20 \cdot \sum_{j=0}^{11} \left(\\frac{1,20}{1,015}\\right)^j

Seja R=1,201,015R = \frac{1,20}{1,015}. Sabendo que (1,015)12=1,20(1,015)^{12}=1,20 e 1,2012=9,001,20^{12}=9,00, temos:

R12=1,20121,01512=9,001,20=7,5R^{12} = \frac{1,20^{12}}{1,015^{12}} = \frac{9,00}{1,20} = 7,5

A soma da PG finita é:

S=∑j=011Rj=R12−1R−1=7,5−1R−1=6,5R−1S = \sum_{j=0}^{11} R^j = \frac{R^{12} - 1}{R - 1} = \frac{7,5 - 1}{R - 1} = \frac{6,5}{R-1}

Calculando R−1=1,201,015−1=0,1851,015≈0,18227R - 1 = \frac{1,20}{1,015} - 1 = \frac{0,185}{1,015} \approx 0,18227.

S≈6,50,18227≈35,662S \approx \frac{6,5}{0,18227} \approx 35,662

Portanto,

FVtextbruto≈3.700⋅1,20⋅35,662=3.700⋅42,7944≈158.339,28FV_{\\text{bruto}} \approx 3.700 \cdot 1,20 \cdot 35,662 = 3.700 \cdot 42,7944 \approx 158.339,28

4. Tarifa e valor líquido

A tarifa é de 10%10\% do montante bruto, logo o valor líquido é 90%90\%:

FVtextlıˊquido=0,9⋅158.339,28≈142.505,35≈R$142.506,00FV_{\\text{líquido}} = 0,9 \cdot 158.339,28 \approx 142.505,35 \approx R\$ 142.506,00

Conclusão

O valor líquido resgatado é de R$ 142.506,00, correspondente à alternativa E.

  1. 1Depósitos em PG (q=1,20)
  2. 2Capitalizar a 1,5% a.m. até t=12
  3. 3Somar PG finita de 12 termos
  4. 4Deduzir 10% de tarifa
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PEGA ESSA DICA!

Em questões com séries geométricas de depósitos, tente fatorar o termo comum (1+i)n(1+i)^n para simplificar a soma. Aqui, o uso das aproximações fornecidas (1,015¹² = 1,20 e 1,20¹² = 9,00) foi essencial para evitar cálculos longos.

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