Questão de Estatística — Modelos lineares — FGV 2023

Modelo de regressão com variável dependente e explicativa em logaritmo (modelo log-log) e variável dummy

Gabarito: letra B. No modelo em que tanto a variável dependente quanto a variável explicativa contínua estão em logaritmo neperiano (modelo log-log), o coeficiente estimado é uma elasticidade: um aumento de 1% em $E_i$ gera um aumento de $0,1\%$ no salário, em média. Já a variável dummy $D_i$ (homem = 1) tem coeficiente $0,2$, que, em modelo semilog (dependente em log), representa um acréscimo de aproximadamente $20\%$ no salário dos homens em relação às mulheres — mas a alternativa correta é a B, que trata da elasticidade da educação.

A questão explora a interpretação dos coeficientes em modelos de regressão com transformações logarítmicas. Quando a variável dependente ($W_i = \ln(\text{salário})$) e a variável explicativa contínua ($E_i = \ln(\text{anos de estudo})$) estão ambas em log, o coeficiente $\beta_1 = 0,1$ mede a variação percentual em $W$ para uma variação de 1% em $E$ — ou seja, é uma elasticidade constante. Já a variável dummy $D_i$ entra de forma aditiva no modelo, e seu coeficiente $\beta_2 = 0,2$ indica que, mantendo $E$ constante, o log-salário dos homens é $0,2$ unidades maior que o das mulheres. Como $W$ é o log do salário, essa diferença em log corresponde a um aumento percentual aproximado de $e^{0,2} - 1 \approx 22,1\%$ — mas a banca, em questões desse tipo, costuma interpretar diretamente como "20% a mais" (aproximação para coeficientes pequenos).

A pegadinha central está em distinguir os três tipos de especificação:

No modelo dado, $W_i = \ln(\text{salário})$ e $E_i = \ln(\text{anos de estudo})$, portanto a relação entre $W$ e $E$ é log-log. O coeficiente $0,1$ significa que, em média, um aumento de 1% nos anos de estudo está associado a um aumento de $0,1\%$ no salário. A alternativa B captura exatamente essa elasticidade.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que "para cada ano adicional de estudo, o salário cresce 10%". Isso seria verdade se $E_i$ estivesse em nível (anos de estudo sem log) e o coeficiente fosse $0,1$ — aí teríamos um modelo log-linear, em que o coeficiente mede a variação percentual do salário para um ano a mais de estudo. Mas aqui $E_i$ é o logaritmo dos anos de estudo, então o coeficiente mede elasticidade, não efeito de unidade adicional. A alternativa confunde as especificações.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa afirma que "para cada aumento de 1% nos anos de estudo, o salário cresce 0,1%". Como $W_i = \ln(\text{salário})$ e $E_i = \ln(\text{anos de estudo})$, o coeficiente $0,1$ é a elasticidade do salário em relação aos anos de estudo. Em modelos log-log, o coeficiente é interpretado diretamente como a variação percentual na variável dependente para uma variação de 1% na variável explicativa. Portanto, a afirmação está correta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que "os homens ganham 0,2% a mais do que as mulheres". O coeficiente da dummy é $0,2$, mas ele está somado ao log-salário, não ao salário em percentual. A interpretação correta é que o log-salário dos homens é $0,2$ unidades maior, o que corresponde a um aumento percentual de aproximadamente $e^{0,2} - 1 \approx 22,1\%$ (ou, na aproximação usual da banca, cerca de 20%). A alternativa erra ao tratar o coeficiente como se fosse diretamente um percentual de 0,2%.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que "os homens ganham 20% a mais do que as mulheres". Essa é a interpretação aproximada correta do coeficiente da dummy (para coeficientes pequenos, $e^{\beta} - 1 \approx \beta$), mas a alternativa D não é o gabarito porque a questão pede a conclusão correta a partir das estimativas — e a alternativa B é a que descreve corretamente o efeito da educação. A alternativa D está tecnicamente correta na interpretação da dummy, mas não é a resposta pedida, pois a banca considerou que a conclusão mais direta e inequívoca é a da elasticidade. (Se a questão pedisse "a partir das estimativas, é possível concluir", tanto B quanto D seriam defensáveis; contudo, o gabarito oficial é B.)

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que "as mulheres ganham 0,1% a mais do que os homens para cada ano adicional de estudo". Há dois erros: (1) o coeficiente $0,1$ refere-se à elasticidade da educação, não à diferença entre gêneros; (2) a dummy indica que os homens têm log-salário maior (coeficiente positivo), não as mulheres. A alternativa mistura os coeficientes e inverte o sinal da diferença de gênero.

Gabarito: letra B