Questão de Estatística — Medidas de Posição - Tendência Central (Media, Mediana e Moda) — FGV 2023

Modelo autorregressivo com tendência: média e variância

Gabarito: letra A. Para o modelo $y_t = bt + y_{t-1} + u_t$, com $y_0 = 0$ e ruído branco $u_t \sim N(0, \sigma^2)$ com autocovariância nula, a média é $E(y_t) = bt$ e a variância é $Var(y_t) = t\sigma^2$. A média acumula o efeito determinístico da tendência linear, enquanto a variância cresce linearmente com o tempo porque cada choque $u_t$ se propaga indefinidamente pelo termo autorregressivo com coeficiente 1 (raiz unitária).

O modelo dado é um passeio aleatório com deriva (drift): o coeficiente de $y_{t-1}$ é 1, o que caracteriza uma raiz unitária. Isso significa que a série não é estacionária — ela acumula todos os choques passados. Vamos resolver por substituição recursiva para enxergar isso com clareza.

Partindo de $y_0 = 0$:

• $y_1 = b \cdot 1 + y_0 + u_1 = b + u_1$

• $y_2 = b \cdot 2 + y_1 + u_2 = 2b + (b + u_1) + u_2 = 2b + u_1 + u_2$

• $y_3 = b \cdot 3 + y_2 + u_3 = 3b + (2b + u_1 + u_2) + u_3 = 3b + u_1 + u_2 + u_3$

O padrão fica evidente:

Agora calculamos a média e a variância.

Média:

Variância:

Como os $u_i$ são independentes (autocovariância nula) e têm variância $\sigma^2$:

A pegadinha central está em reconhecer que o coeficiente autorregressivo é exatamente 1. Se fosse $|\phi| < 1$ (processo estacionário), a variância convergiria para um valor finito $\sigma^2 / (1 - \phi^2)$. Mas com raiz unitária, a variância cresce sem limite com $t$ — é isso que a alternativa A captura.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A média é $bt$ (o termo determinístico da tendência) e a variância é $t\sigma^2$ (soma das variâncias dos $t$ choques independentes acumulados). A substituição recursiva confirma: $y_t = bt + \sum_{i=1}^{t} u_i$, e daí $E(y_t) = bt$ e $Var(y_t) = t\sigma^2$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A média $bt$ está correta, mas a variância $\sigma^2$ seria o valor para um processo AR(1) estacionário com $|\phi| < 1$, onde a variância converge para $\sigma^2 / (1 - \phi^2)$. Aqui, com $\phi = 1$, a variância não converge — ela cresce linearmente com $t$. O erro é aplicar a fórmula do caso estacionário a um processo de raiz unitária.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A média $bt$ está correta, mas a variância não pode ser zero. O ruído branco tem variância $\sigma^2 > 0$, e cada choque se acumula na série. A variância de $y_t$ é a soma das variâncias dos choques acumulados, $t\sigma^2$, que só seria zero se $\sigma^2 = 0$ (o que tornaria o modelo determinístico, contrariando o enunciado).

Alternativa D — ❌ Incorreta

A média não é zero: o termo de tendência $bt$ é determinístico e não se anula. A variância $\sigma^2$ também está errada, pelo mesmo motivo da alternativa B — ela seria a variância de um único choque, não da série acumulada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A variância $t\sigma^2$ está correta, mas a média não é zero. O termo $bt$ é determinístico e se acumula na série: $E(y_t) = bt$. A alternativa troca a média correta pela média do ruído (que é zero), confundindo o componente aleatório com o valor esperado da série inteira.

Gabarito: letra A.