Questão de Estatística — Modelos lineares — FGV 2023

Pressupostos do modelo de regressão linear e o Teorema de Gauss-Markov

Gabarito: letra E. A homoscedasticidade dos erros não é necessária para que o estimador de MQO seja não viesado — ela é exigida para que o estimador seja eficiente (variância mínima) e para a validade dos testes de hipóteses. As hipóteses que garantem a não viés são: linearidade nos parâmetros, amostra aleatória, ausência de colinearidade perfeita e exogeneidade dos regressores (Teorema de Gauss-Markov).

O Teorema de Gauss-Markov estabelece as condições sob as quais o estimador de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) é o melhor estimador linear não viesado (BLUE). Para a não viés (E[β̂] = β), são necessárias:

• Linearidade nos parâmetros: o modelo deve ser linear nos coeficientes β, ou seja, Y = Xβ + u.

• Amostra aleatória: as observações devem ser obtidas de forma independente e identicamente distribuída (i.i.d.).

• Não colinearidade perfeita: a matriz X deve ter posto coluna completo (rank(X) = k), garantindo que (X'X) seja invertível.

• Exogeneidade dos regressores: E[u|X] = 0, ou seja, o erro tem média zero condicional aos regressores.

A homoscedasticidade (Var(u|X) = σ²I) não é necessária para a não viés. Ela é uma condição para a eficiência (variância mínima entre os estimadores lineares não viesados) e para que os erros padrão usuais sejam válidos. Se houver heteroscedasticidade, o estimador MQO permanece não viesado, mas deixa de ser eficiente — existem estimadores alternativos (como MQO com erros padrão robustos) que corrigem a inferência.

A banca explora a confusão entre os pressupostos que garantem a não viés e aqueles que garantem a eficiência e a validade da inferência. O candidato que memoriza a lista de pressupostos sem distinguir suas funções tende a marcar a homoscedasticidade como necessária para a não viés, quando na verdade ela é necessária para a eficiência.

Alternativa A — ✅ Correta

A linearidade nos parâmetros é um pressuposto fundamental do modelo de regressão linear. O modelo Y = Xβ + u é linear nos parâmetros β, o que permite que o estimador MQO seja uma função linear de Y e, portanto, não viesado sob as demais condições. Sem essa linearidade, o estimador MQO não seria aplicável.

Alternativa B — ✅ Correta

A amostra aleatória garante que as observações sejam independentes e identicamente distribuídas, condição necessária para que o estimador MQO seja não viesado. Sem aleatoriedade, pode haver viés de seleção que compromete a estimação.

Alternativa C — ✅ Correta

A ausência de colinearidade perfeita entre os regressores é necessária para que a matriz X'X seja invertível, permitindo o cálculo do estimador β̂ = (X'X)⁻¹X'Y. Se houver colinearidade perfeita, o estimador não existe (ou é indeterminado), o que inviabiliza a não viés.

Alternativa D — ✅ Correta

A exogeneidade dos regressores (E[u|X] = 0) é a condição central para a não viés. Ela garante que os regressores não sejam correlacionados com o termo de erro, de modo que E[β̂] = β. Sem exogeneidade, o estimador MQO é viesado (endogeneidade).

Alternativa E — ❌ Incorreta ⟵ GABARITO

A homoscedasticidade dos erros (variância constante) não é necessária para a não viés do estimador MQO. Ela é um pressuposto para a eficiência (variância mínima) e para a validade dos testes de hipóteses (erros padrão corretos). Sob heteroscedasticidade, o estimador MQO permanece não viesado, mas deixa de ser eficiente — por isso a alternativa é a exceção pedida.

Gabarito: letra E — a homoscedasticidade é a única que não é necessária para a não viés do estimador MQO.