Questão de Estatística — Medidas de Posição - Tendência Central (Media, Mediana e Moda) — FGV 2023

Medidas de Posição e Forma: Mediana, Coeficiente de Variação e Curtose

Gabarito: letra B — a sequência correta é F, V e F. A primeira afirmativa erra ao afirmar que a mediana é dada pela posição (n+1)/2, quando essa fórmula só se aplica quando n é ímpar; a segunda está correta, pois o coeficiente de variação de Pearson permite comparar conjuntos de dados com unidades de medida diferentes; e a terceira erra ao afirmar que a curtose é igual a 3 no caso da distribuição normal, quando, na verdade, a curtose da normal é 0 (ou 3, dependendo da definição, mas a banca considera a medida padronizada).

A questão cobra três conceitos fundamentais da estatística descritiva: medidas de posição (mediana), medidas de dispersão relativa (coeficiente de variação) e medidas de forma (curtose). Vamos analisar cada um com profundidade para entender não só o gabarito, mas a matéria como um todo.

Mediana: A mediana é uma medida de tendência central que divide o conjunto de dados ordenados ao meio, ou seja, 50% dos dados ficam abaixo e 50% acima dela. Para calcular a posição da mediana, é preciso considerar se o número de observações (n) é ímpar ou par:

• Se n é ímpar: a mediana é o elemento que ocupa a posição (n+1)/2.

• Se n é par: a mediana é a média aritmética dos dois elementos centrais, que ocupam as posições n/2 e (n/2)+1.

A afirmativa I diz que a mediana é dada pela posição (n+1)/2, sem fazer a distinção entre n ímpar e par. Isso está errado porque, para n par, a posição (n+1)/2 não é um número inteiro, e a mediana é calculada pela média dos dois valores centrais. Por exemplo, com n=8, a posição (8+1)/2 = 4,5, mas a mediana é a média entre o 4º e o 5º elementos ordenados. Portanto, a afirmativa é FALSA.

Coeficiente de Variação de Pearson: O coeficiente de variação (CV) é uma medida de dispersão relativa, definida como o desvio padrão dividido pela média, geralmente expresso em porcentagem. Sua principal vantagem é permitir a comparação da variabilidade de conjuntos de dados que possuem médias diferentes ou unidades de medida diferentes, pois é uma medida adimensional. Por exemplo, podemos comparar a variabilidade do peso (em kg) com a da altura (em cm) de um grupo de pessoas, o que não seria possível com o desvio padrão absoluto. A afirmativa II está CORRETA.

Curtose: A curtose mede o grau de achatamento ou alongamento de uma distribuição em relação à distribuição normal. Existem duas formas de apresentar o coeficiente de curtose:

• Curtose absoluta (ou excesso de curtose): para a distribuição normal, o valor é 0.

• Curtose relativa (ou coeficiente de curtose de Pearson): para a distribuição normal, o valor é 3.

A afirmativa III diz que a curtose é igual a 3 no caso da distribuição normal, sem especificar qual definição está sendo usada. A banca considerou a medida padronizada (excesso de curtose), em que a normal tem curtose 0. Portanto, a afirmativa é FALSA.

Afirmativa I — ❌ Falsa

A mediana é dada pela posição (n+1)/2 apenas quando n é ímpar. Para n par, a mediana é a média dos elementos nas posições n/2 e (n/2)+1. A afirmativa generaliza indevidamente, ignorando o caso par. Por isso, é FALSA.

Afirmativa II — ✅ Verdadeira

O coeficiente de variação de Pearson é uma medida relativa (desvio padrão / média), adimensional, que permite comparar a dispersão de conjuntos de dados com unidades de medida diferentes. Essa é exatamente a sua principal vantagem. Portanto, é VERDADEIRA.

Afirmativa III — ❌ Falsa

A curtose da distribuição normal é 0 quando se usa o excesso de curtose (medida padronizada), que é a mais comum em estatística descritiva. O valor 3 corresponde à curtose absoluta, mas a banca adotou a padronizada. Portanto, a afirmativa é FALSA.

Gabarito: letra B — sequência F, V, F.