Estatística · FGV · 2023 | Questão sqc-fg060805

Estimadores não viesados da média e da variância

Gabarito: letra B. Para a amostra {2,2,4,4}, a média amostral é 3 e a variância amostral (não viesada) é 4/3. A média amostral $\bar{X}$ é um estimador não viesado de $\mu$ , e a variância amostral $S^2 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})^2}{n-1}$ é um estimador não viesado de $\sigma^2$ — é exatamente essa fórmula com denominador $n-1$ que a alternativa B aplica.

A questão cobra dois conceitos centrais da inferência estatística: o que é um estimador não viesado e como se calcula a variância amostral. Um estimador é não viesado quando seu valor esperado é igual ao parâmetro populacional que ele estima. Para a média, $E(\bar{X}) = \mu$ ; para a variância, $E(S^2) = \sigma^2$ , desde que usemos o denominador $n-1$ (graus de liberdade). Se usássemos o denominador $n$ , o estimador seria viesado (tendencioso), subestimando a variância populacional.

A pegadinha da banca está justamente em distinguir a variância populacional da amostral. Muitos candidatos calculam a variância com denominador $n$ e obtêm 1, caindo na alternativa C. Mas, como a questão pede estimativas não viesadas para $\sigma^2$ , o correto é usar $n-1$ .

Vamos aos cálculos:

Média amostral: $\bar{X} = \frac{2+2+4+4}{4} = \frac{12}{4} = 3$ .

Soma dos quadrados dos desvios: $(2-3)^2 + (2-3)^2 + (4-3)^2 + (4-3)^2 = 1+1+1+1 = 4$ .

Variância amostral (não viesada): $S^2 = \frac{4}{n-1} = \frac{4}{3}$ .

Portanto, as estimativas são 3 e 4/3.

Estimadores não viesados — só Média amostral: 3; só Variância amostral: 4/3; Média amostral∩Variância amostral: 0

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a variância é 0. Isso só ocorreria se todos os valores fossem iguais à média, o que não é o caso. A variância amostral correta é 4/3.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A média amostral é 3 e a variância amostral com denominador $n-1$ é 4/3. Esses são os estimadores não viesados de $\mu$ e $\sigma^2$ , respectivamente.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta variância 1, que é o valor da variância populacional calculada com denominador $n$ : $\sigma^2 = \frac{4}{4} = 1$ . Mas a questão pede estimativa não viesada, que exige o denominador $n-1$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

Erra a média (4 em vez de 3) e a variância (1). A média correta é 3.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Erra a média (4 em vez de 3), embora acerte a variância amostral (4/3).

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca a variância amostral (denominador $n-1$ ) pela variância populacional (denominador $n$ ). O candidato que calcula $\frac{4}{4}=1$ cai na alternativa C. Lembre-se: para estimar $\sigma^2$ de forma não viesada, o denominador é sempre $n-1$ .

PEGA ESSA DICA!

Na prova, identifique rapidamente se a questão pede variância populacional ou amostral. Se pedir estimativa não viesada de $\sigma^2$ , use $S^2 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})^2}{n-1}$ . Se pedir apenas a variância dos dados (descritiva), use o denominador $n$ .

Gabarito: letra B.