Questão de Estatística — Estatística descritiva (análise exploratória de dados) — FGV 2023

Distribuição Uniforme: média e variância

Gabarito: letra C. Para uma variável aleatória uniforme no intervalo $[a,b]$, a média é $E(X) = \frac{a+b}{2}$ e a variância é $Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}$. Com $a=0$ e $b=1$, temos $E(X) = \frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$ e $Var(X) = \frac{(1-0)^2}{12} = \frac{1}{12}$ — exatamente o que a alternativa C traz.

A distribuição uniforme contínua é aquela em que a densidade de probabilidade é constante em todo o intervalo de definição. Isso significa que todos os valores do intervalo têm a mesma chance de ocorrer — a probabilidade de cair em qualquer subintervalo é proporcional ao comprimento dele. É o modelo clássico para fenômenos em que não há preferência por nenhum ponto específico, como o horário de chegada de um ônibus em um intervalo fixo.

As fórmulas de média e variância são deduzidas por integração da densidade, mas o resultado é simples de memorizar: a média é o ponto médio do intervalo (o centro de simetria da distribuição) e a variância é o quadrado do comprimento do intervalo dividido por 12. Essa divisão por 12 é a "assinatura" da uniforme — nenhuma outra distribuição comum usa esse denominador, o que torna a identificação imediata em prova.

A pegadinha mais comum nesse tema é trocar a variância pela fórmula de outra distribuição (como a exponencial, que tem variância $1/\lambda^2$) ou inverter os valores de média e variância. Aqui, a banca coloca distratores como $1/3$ (que seria a variância se o intervalo fosse $[-1,1]$) e $1/6$ (que não corresponde a nada da uniforme), tentando confundir quem decorou sem entender a origem das fórmulas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma média 0 e variância 1/3. A média de uma uniforme em $[0,1]$ é o ponto médio, $1/2$, não 0. O valor 1/3 não é a variância de nenhuma uniforme padrão — seria a variância de uma uniforme em $[-1,1]$, pois $(1-(-1))^2/12 = 4/12 = 1/3$. A banca troca o intervalo e o valor da média.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma média 1 e variância 1. A média 1 seria o ponto médio de $[1,1]$ (um ponto, não um intervalo) e a variância 1 não corresponde a nenhuma uniforme com amplitude 1 — a variância máxima para amplitude 1 é $1/12$. É um distrator que mistura valores de outras distribuições (média 1 lembra a exponencial com $\lambda=1$).

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A média é $\frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$ e a variância é $\frac{(1-0)^2}{12} = \frac{1}{12}$. Aplicação direta das fórmulas da distribuição uniforme contínua no intervalo $[0,1]$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma média 1/12 e variância 1. Aqui a banca inverte os papéis: coloca a variância (1/12) no lugar da média e a média (1/2) no lugar da variância, mas ainda erra o valor da variância (1 em vez de 1/12). É a clássica pegadinha de trocar as duas medidas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma média 1/6 e variância 1/24. Nenhum desses valores corresponde à uniforme em $[0,1]$. A média 1/6 seria o ponto médio de um intervalo de comprimento 1/3, e a variância 1/24 não é a de nenhuma uniforme com amplitude inteira. São números aleatórios que não têm relação com o problema.

Gabarito: letra C