Questão de Economia — Microeconomia — FGV 2023

Maximização de Utilidade Cobb-Douglas

Gabarito: letra B. Para a função utilidade $u(x,y)=x^2 y$, as quantidades ótimas são $x^*=\frac{2}{3}\frac{w}{p_x}$ e $y^*=\frac{1}{3}\frac{w}{p_y}$, obtidas pela condição de tangência $\frac{UMg_x}{UMg_y}=\frac{p_x}{p_y}$ somada à restrição orçamentária $p_x x + p_y y = w$.

A resolução segue os passos:

1. Utilidades marginais: $UMg_x = \frac{\partial u}{\partial x}=2xy$, $UMg_y = \frac{\partial u}{\partial y}=x^2$.

2. TMS: $\frac{UMg_x}{UMg_y} = \frac{2y}{x}$.

3. Condição de equilíbrio: $\frac{2y}{x} = \frac{p_x}{p_y} \Rightarrow 2y p_y = x p_x$.

4. Substituindo na restrição: $p_x x + p_y y = w \Rightarrow p_x x + \frac{1}{2}p_x x = w \Rightarrow \frac{3}{2}p_x x = w \Rightarrow x^* = \frac{2w}{3p_x}$.

5. De $2y p_y = x p_x$ obtém-se $y^* = \frac{x p_x}{2p_y} = \frac{2w/(3p_x) \cdot p_x}{2p_y} = \frac{w}{3p_y}$.

Isto corresponde exatamente à alternativa B.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $w/(3p_x)$ e $2w/(3p_y)$, ou seja, inverte os expoentes: coloca a fração $1/3$ para $x$ e $2/3$ para $y$. O correto é $2/3$ para $x$ (expoente 2) e $1/3$ para $y$ (expoente 1).

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Conforme demonstrado, $x^*=2w/(3p_x)$ e $y^*=w/(3p_y)$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Usa $w/(2p_x)$ e $w/p_y$. Isso corresponderia a uma função $u=x y$ (expoentes 1 e 1), e não a $x^2 y$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $2w/p_x$ e $3w/p_y$, ignorando a divisão por $a+b=3$. Não respeita a restrição orçamentária.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Usa denominador 5, isto é, $a+b=5$, quando o correto é $2+1=3$. Além disso, os numeradores 2 e 3 não correspondem aos expoentes.

Gabarito: letra B.