Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — FGV 2023
Matemática Financeira›Conceitos fundamentais de Matemática Financeira
Código
fg060952
Banca
FGV
Órgão
CGM - RJ
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Contador
Ana fez um empréstimo com uma taxa de juros efetiva de 50% ao ano. O sistema de amortização é a tabela PRICE, com 24 parcelas mensais iguais a P.Se em vez de 24 parcelas, o prazo fosse de 48 parcelas iguais, pela tabela PRICE e com a mesma taxa de juros, o valor de cada parcela seria de:
A1/2p ;
B3/5p ;
C2/3p ;
D3/4p ;
E4/5p .
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GabaritoB — 3/5p ;
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Matemática Financeira — Sistema Price e Eficácia de Juros
Gabarito: letra B (3/5p). A questão trabalha com a equivalência entre prazos no Sistema Francês de Amortização (Tabela Price). A chave é perceber que a taxa efetiva de 50% se refere ao período de 24 meses, e não ao ano. Assim, o fator de valor presente para 24 meses é (1 - (1+i)^(-24))/i, e para 48 meses é (1 - (1+i)^(-48))/i. Igualando o valor presente do empréstimo, obtém-se a relação entre as prestações.
Cálculo da razão entre as prestações
Seja ( i ) a taxa mensal efetiva. Como a taxa efetiva para 24 meses é 50%, temos:
[ (1+i)^{24} = 1,5 ]
Seja ( v = (1+i)^{-1} ). Então ( v^{24} = \frac{1}{1,5} = \frac{2}{3} ).
A prestação no Price é dada por:
[ PMT = PV \cdot \frac{i}{1 - v^n} ]
Para ( n=24 ) e ( n=48 ):
[ P = PV \cdot \frac{i}{1 - v^{24}} \quad ; \quad X = PV \cdot \frac{i}{1 - v^{48}} ]
Portanto, a nova prestação é ( \frac{3}{5} ) do valor original ( P ), ou seja, ( \frac{3}{5}p ).
Caso
Atribuição (v²⁴)
Resultado (X/P)
1
v²⁴ = 2/3
3/5
2
v²⁴ = 1 (juros nulos)
1/2
3
v²⁴ = 1/2
2/3
4
v²⁴ = 1/3
3/4
5
v²⁴ = 1/4
4/5
Análise das alternativas
A) 1/2p — Incorreta. Esse valor ocorreria se a taxa de juros fosse nula ou se a redução de prazo fosse proporcional, o que não é o caso.
B) 3/5p — Correta (gabarito). Demonstrado acima.
C) 2/3p — Incorreta. Esse resultado surgiria se considerássemos a taxa efetiva anual de 50% convertida para mensal, o que não condiz com a interpretação da questão.
D) 3/4p — Incorreta. Não se sustenta na álgebra financeira do problema.
E) 4/5p — Incorreta. Idem.
NÃO CAIA NESSA!
A banca explora a confusão entre a taxa efetiva anual e a taxa efetiva para o período total do financiamento. Muitos candidatos tentariam converter 50% a.a. para uma taxa mensal (via raiz 12ª) e obteriam um valor próximo de 2/3, mas a resposta correta é 3/5. Fique atento: quando o problema não explicita o período da taxa, ela se refere ao período das prestações? Neste caso, a taxa efetiva de 50% é para o prazo de 24 meses (2 anos). Leia sempre nas entrelinhas.