Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg060959

Regra de três composta: produção de máquinas

Gabarito: letra C (20 litros). A produção é diretamente proporcional ao número de máquinas e ao tempo de operação. A diferença de 20 litros entre as duas situações permite calcular a produção por máquina-minuto: cada máquina produz 0,25 litro por minuto. Assim, 3 máquinas em 12 minutos produzem $3 \times 12 \times 0,25 = 9$ litros? Não — o cálculo correto é: a produção total é proporcional a (máquinas × tempo). A diferença entre as duas situações é $10 \times 10 - 8 \times 8 = 100 - 64 = 36$ máquina-minutos, que correspondem a 20 litros. Logo, a produção por máquina-minuto é $\frac{20}{36} = \frac{5}{9}$ litros. Para 3 máquinas em 12 minutos, temos $3 \times 12 \times \frac{5}{9} = 36 \times \frac{5}{9} = 20$ litros.

A questão envolve regra de três composta com grandezas diretamente proporcionais: quanto mais máquinas e mais tempo, maior a produção. A chave é perceber que a produção é proporcional ao produto (número de máquinas × tempo de operação). A diferença de 20 litros entre as duas situações nos dá exatamente a produção correspondente à diferença de máquina-minutos.

Vamos formalizar: seja $P$ a produção (em litros) e $k$ a constante de proporcionalidade (produção por máquina-minuto). Então $P = k \times (\text{máquinas} \times \text{tempo})$ . A diferença entre as duas situações é:

20 = k \times (10 \times 10 - 8 \times 8) = k \times (100 - 64) = k \times 36

Portanto, $k = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$ litros por máquina-minuto.

Para a situação pedida (3 máquinas, 12 minutos):

P = \frac{5}{9} \times (3 \times 12) = \frac{5}{9} \times 36 = 20 \text{ litros}

A pegadinha clássica seria tentar resolver por regra de três simples direta, ignorando que a produção depende de duas grandezas (máquinas e tempo) simultaneamente. Outro erro comum é inverter a proporcionalidade (tratar tempo como inversamente proporcional, o que não é o caso aqui).

Produção de máquinas — só Máquinas: 10; só Tempo: 8; Máquinas∩Tempo: 20

Alternativa A — ❌ Incorreta

10 litros seria o resultado se a produção fosse proporcional apenas ao número de máquinas (ignorando o tempo) ou se houvesse um erro de cálculo. Não corresponde a nenhuma relação direta com os dados.

Alternativa B — ❌ Incorreta

16 litros poderia ser obtido se alguém calculasse $3 \times 12 \times \frac{4}{9}$ (usando uma constante errada) ou se confundisse a diferença de máquina-minutos (36) com a produção diretamente. Não é o valor correto.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

20 litros é exatamente o resultado de $3 \times 12 \times \frac{5}{9} = 20$ . A produção é diretamente proporcional ao produto máquinas × tempo, e a constante $\frac{5}{9}$ foi obtida da diferença dada no enunciado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

30 litros seria o resultado se a constante fosse $\frac{5}{6}$ (erro de simplificação) ou se alguém calculasse $3 \times 12 \times \frac{5}{6} = 30$ . Não é o valor correto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

36 litros seria o resultado se a constante fosse $1$ (ou seja, se cada máquina-minuto produzisse 1 litro), o que contradiz a diferença dada (36 máquina-minutos produziriam 36 litros, mas o enunciado diz que produzem apenas 20).

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de produção com múltiplas grandezas, monte a equação $P = k \times (\text{máquinas} \times \text{tempo})$ e use a diferença fornecida para achar $k$ . Isso evita erros de proporcionalidade e agiliza a resolução.

Gabarito: letra C