Um movimento de um pentágono corresponde a um giro em torno de seu centro de 72 graus, no sentido horário ou no sentido anti-horário, de modo que os vértices mudem de posição, mas a região interior do pentágono fique inalterada. Queremos retornar os vértices à posição original após 7 movimentos.O número de modos distintos com que isso pode ser feito é igual a
A7.
B10.
C12.
D14.
E18.
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GabaritoD — 14.
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Raciocínio Lógico: Análise Combinatória - Rotação de Pentágono
Gabarito: letra D (14). Para retornar à posição original após 7 movimentos de ±72°, a rotação líquida deve ser múltipla de 360°. Isso ocorre apenas quando há 6 rotações em um sentido e 1 no outro, totalizando 7+7=14 sequências distintas.
Cada movimento é um giro de 72° no sentido horário (H) ou anti-horário (A). Após 7 movimentos, a rotação total é 72° × (H − A), onde H + A = 7. Queremos que essa rotação seja múltipla de 360° = 72° × 5, ou seja, (H − A) múltiplo de 5. Como H − A = 2H − 7, os valores possíveis para 2H − 7 no intervalo [−7,7] que são múltiplos de 5 são apenas −5 e 5. Isso dá H=1 (e A=6) ou H=6 (e A=1).
Em cada caso, o número de maneiras de escolher a posição do movimento minoritário é C(7,1)=7. Total = 7 + 7 = 14.
Movimentos de pentágono — só Horário: 6; só Anti-horário: 6; Horário∩Anti-horário: 1
Alternativa A — ❌ Incorreta
Oferece 7, que corresponde a considerar apenas um dos dois casos (por exemplo, 6 horários e 1 anti-horário), ignorando o caso simétrico.
Alternativa B — ❌ Incorreta
10 não é resultado de nenhuma contagem razoável para este problema.
Alternativa C — ❌ Incorreta
12 também não corresponde a nenhuma combinação possível.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
14, conforme demonstrado.
Alternativa E — ❌ Incorreta
18 excede o número total de sequências (128) e não se encaixa na condição de rotação nula.