Considere todos os números que podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, usando-se todos os algarismos, sem repeti-los. Se colocarmos esses números em ordem crescente, o número 45312 ocupará a posição
A95.
B96.
C97.
D98.
E99.
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GabaritoA — 95.
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Permutações em Ordem Crescente: Posição de 45312
Gabarito: letra A (95). O número 45312 é o 95º na ordenação crescente de todas as permutações dos algarismos 1,2,3,4,5. Isso porque, contando quantos números vêm antes dele, chegamos a 94, e sua posição é 94+1=95.
A questão exige que se liste mentalmente todos os números de 5 algarismos distintos formados por 1,2,3,4,5 em ordem crescente (ordem lexicográfica) e se determine a posição de 45312. Como o total de permutações é 5! = 120, podemos contar sistematicamente quantas são menores que o número dado.
Método de Contagem por Prefixo
Números começando com 1, 2 ou 3:
Primeiro dígito menor que 4. Para cada um desses dígitos (1,2,3), os 4 dígitos restantes podem ser permutados de 4! = 24 formas.
Total: 3 × 24 = 72 números.
Números começando com 4:
Agora fixamos o primeiro dígito como 4. Analisamos o segundo dígito:
Segundo dígito menor que 5 (dígitos 1,2,3): para cada um, os 3 dígitos restantes permutam de 3! = 6 formas.
Total: 3 × 6 = 18 números.
Segundo dígito igual a 5: passamos para o terceiro dígito.
Números começando com 45:
Fixados 4 e 5, restam {1,2,3}. Terceiro dígito:
Menor que 3 (dígitos 1,2): para cada um, os 2 dígitos restantes permutam de 2! = 2 formas.
Total: 2 × 2 = 4 números.
Terceiro dígito igual a 3: passamos para o quarto dígito.
Números começando com 453:
Restam {1,2}. Quarto dígito:
Menor que 1? Nenhum (1 é o menor).
Portanto, nenhum número antes desse prefixo.
Chegada ao número 45312:
O próximo número na ordem é exatamente 45312.
Soma dos números anteriores: 72 + 18 + 4 = 94. Posição = 94 + 1 = 95.
Verificação com outra abordagem
Poderíamos usar o sistema de numeração fatorial, mas o raciocínio acima é direto e confiável.
Conclusão: O lugar de 45312 na lista crescente é o de número 95, correspondente à alternativa A.
PEGA ESSA DICA!
Para problemas de ordem lexicográfica, conte os números por prefixo: fixe um dígito e veja quantos menores existem na posição atual. O somatório dessas contagens dá a posição exata.