Estatística · FGV · 2023 | Questão sqc-fg062192

Distribuição Normal Padrão (Z)

Gabarito: letra A. A transformação que converte uma variável normal $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ em uma normal padrão $Z \sim N(0,1)$ é $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ . Como o enunciado fornece média $\mu = 50$ e variância $\sigma^2 = 100$ , o desvio padrão é $\sigma = 10$ . Portanto, a variável com distribuição normal padrão é $Z = \frac{X - 50}{10}$ .

A distribuição normal padrão (ou reduzida) é um caso especial da distribuição normal, com média 0 e variância 1. A padronização (ou normalização) é uma transformação linear que "centraliza" a variável em torno de zero (subtraindo a média) e a "escala" para que o desvio padrão seja unitário (dividindo pelo desvio padrão). Essa transformação é essencial para usar tabelas de probabilidade da normal padrão, pois qualquer normal pode ser convertida em $Z$ .

A fórmula geral é:

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

onde $\mu$ é a média e $\sigma$ é o desvio padrão (raiz quadrada da variância). No problema, $\mu = 50$ e $\sigma^2 = 100$ , logo $\sigma = \sqrt{100} = 10$ . Substituindo:

Z = \frac{X - 50}{10}

A banca explora a confusão entre variância e desvio padrão: muitos candidatos usam a variância (100) no denominador, mas o correto é o desvio padrão (10). Além disso, o sinal da média também é uma armadilha: subtrair a média (não somar) é o que centraliza a variável em zero.

1Identificar μ e σ²
2Calcular σ = √σ²
3Subtrair μ (centralizar)
4Dividir por σ (escalar)

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Critério	A) Z = (X − 50)/10	B) Z = (X − 50)/100	C) Z = (X + 50)/10	D) Z = (X + 50)/100	E) Z = X − 5
Média de Z	0	0	10	10	45
Variância de Z	1	0,01	1	0,01	100
Usa desvio padrão (σ = 10)?	✅ Sim	❌ Não (usa variância)	✅ Sim	❌ Não (usa variância)	❌ Não
Subtrai a média (μ = 50)?	✅ Sim	✅ Sim	❌ Não (soma)	❌ Não (soma)	❌ Não
Distribuição normal padrão?	✅ Sim	❌ Não	❌ Não	❌ Não	❌ Não

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a aplicação direta da fórmula de padronização. Com $\mu = 50$ e $\sigma = 10$ , temos $Z = \frac{X - 50}{10}$ . A subtração da média garante que $E(Z) = 0$ , e a divisão pelo desvio padrão garante que $Var(Z) = 1$ . Portanto, $Z$ tem distribuição normal padrão.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Aqui o denominador é 100, que é a variância, não o desvio padrão. A divisão pela variância não produz uma variável com variância 1. De fato, se $Z = \frac{X - 50}{100}$ , então $Var(Z) = \frac{100}{100^2} = \frac{1}{100} = 0,01$ , e não 1. O erro é usar $\sigma^2$ no lugar de $\sigma$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

O erro está no sinal: soma-se 50 em vez de subtrair. A transformação correta subtrai a média para centralizar em zero. Se $Z = \frac{X + 50}{10}$ , então $E(Z) = \frac{50 + 50}{10} = 10$ , e não 0. Portanto, não é normal padrão.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa combina os dois erros anteriores: soma a média (em vez de subtrair) e divide pela variância (em vez do desvio padrão). O resultado não tem média 0 nem variância 1.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$Z = X - 5$ apenas desloca a variável, mas não a escala. A média de $Z$ seria $50 - 5 = 45$ e a variância continuaria 100. Para ser normal padrão, a média deve ser 0 e a variância 1, o que não ocorre.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca o desvio padrão pela variância. Lembre-se: a fórmula usa $\sigma$ (desvio padrão), que é a raiz quadrada da variância. Aqui, $\sigma = \sqrt{100} = 10$ , não 100. Além disso, o sinal é de subtração da média, não adição. Com esse raciocínio, você elimina as alternativas B, C, D e E de imediato.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de padronização, anote sempre os parâmetros: $\mu$ e $\sigma^2$ . Calcule $\sigma$ antes de montar a fórmula. E lembre-se: a normal padrão tem média 0 e desvio padrão 1 — confira se a transformação proposta leva a esses valores.

Gabarito: letra A