Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2023

Resolução

Gabarito: letra E — o maior número de moedas que Natália pode usar para pagar R$ 9,75 é 21. Para maximizar a quantidade de moedas, devemos usar o maior número possível de moedas de menor valor (R$ 0,25), depois as de R$ 0,50 e, por fim, as de R$ 1,00, respeitando o limite de 10 moedas de cada tipo.

A ideia por trás

O problema pede o maior número de moedas para totalizar exatamente R$ 9,75. Como queremos muitas moedas, a estratégia é usar o máximo de moedas de menor valor (R$ 0,25), pois elas "rendem" menos valor por moeda, exigindo mais unidades para atingir o total. Temos 10 moedas de R$ 0,25, 10 de R$ 0,50 e 10 de R$ 1,00.

Vamos montar a combinação:

1. Usar as 10 moedas de R$ 0,25: 10 × R$ 0,25 = R$ 2,50. Restam R$ 9,75 − R$ 2,50 = R$ 7,25.

2. Usar as 10 moedas de R$ 0,50: 10 × R$ 0,50 = R$ 5,00. Restam R$ 7,25 − R$ 5,00 = R$ 2,25.

3. Para os R$ 2,25 restantes, usar moedas de R$ 1,00: precisamos de 2 moedas de R$ 1,00 (R$ 2,00) e 1 moeda de R$ 0,25 (R$ 0,25), totalizando R$ 2,25.

Total de moedas: 10 (de R$ 0,25) + 10 (de R$ 0,50) + 2 (de R$ 1,00) + 1 (de R$ 0,25) = 23 moedas. Mas isso ultrapassa o total de moedas de R$ 0,25 disponíveis (usamos 11, mas só temos 10). Precisamos ajustar.

Na verdade, ao usar as 10 moedas de R$ 0,25, já usamos todas as disponíveis. Para os R$ 2,25 restantes, não podemos usar mais moedas de R$ 0,25. Então, precisamos recompor:

• Após usar 10 moedas de R$ 0,25 (R$ 2,50) e 10 moedas de R$ 0,50 (R$ 5,00), temos R$ 7,50. Faltam R$ 2,25.

• Com moedas de R$ 1,00, precisaríamos de 2 moedas (R$ 2,00) e ainda faltaria R$ 0,25, que não pode ser pago com moeda de R$ 1,00. Então, essa combinação não fecha.

Vamos buscar a combinação correta que maximize o número de moedas. A ideia é usar o máximo de moedas de R$ 0,25, mas ajustando para que o total feche exatamente.

Testemos usar 9 moedas de R$ 0,25 (R$ 2,25), 10 moedas de R$ 0,50 (R$ 5,00) e 2 moedas de R$ 1,00 (R$ 2,00): total = R$ 2,25 + R$ 5,00 + R$ 2,00 = R$ 9,25. Não fecha.

Testemos 10 moedas de R$ 0,25 (R$ 2,50), 9 moedas de R$ 0,50 (R$ 4,50) e 2 moedas de R$ 1,00 (R$ 2,00): total = R$ 2,50 + R$ 4,50 + R$ 2,00 = R$ 9,00. Faltam R$ 0,75, que podem ser 3 moedas de R$ 0,25, mas já usamos 10. Então, não.

Vamos pensar de forma sistemática. Queremos maximizar o número total de moedas $N = a + b + c$, onde $a$ é o número de moedas de R$ 0,25, $b$ de R$ 0,50 e $c$ de R$ 1,00, com $0 \le a, b, c \le 10$, e $0,25a + 0,50b + 1,00c = 9,75$. Multiplicando por 4: $a + 2b + 4c = 39$.

Para maximizar $N = a + b + c$, devemos minimizar o valor médio por moeda, ou seja, usar o máximo de moedas de R$ 0,25. O valor máximo de $a$ é 10. Com $a = 10$, temos $2b + 4c = 29$, o que é impossível pois o lado esquerdo é par. Então, $a$ deve ser ímpar para que $39 - a$ seja par. Os valores possíveis de $a$: 9, 7, 5, 3, 1.

• $a = 9$: $2b + 4c = 30 \Rightarrow b + 2c = 15$. Para maximizar $N = 9 + b + c$, maximizamos $b + c$ com $b + 2c = 15$. Queremos $b + c$ máximo, então minimizamos $c$. Com $c = 0$, $b = 15$, mas $b \le 10$. Com $c = 3$, $b = 9$, $N = 9 + 9 + 3 = 21$. Com $c = 4$, $b = 7$, $N = 20$. Com $c = 5$, $b = 5$, $N = 19$. O máximo é 21.

• $a = 7$: $2b + 4c = 32 \Rightarrow b + 2c = 16$. Para maximizar $N = 7 + b + c$, minimizamos $c$. Com $c = 3$, $b = 10$, $N = 20$. Com $c = 4$, $b = 8$, $N = 19$. Máximo 20.

• $a = 5$: $2b + 4c = 34 \Rightarrow b + 2c = 17$. Com $c = 4$, $b = 9$, $N = 18$. Com $c = 5$, $b = 7$, $N = 17$. Máximo 18.

• $a = 3$: $2b + 4c = 36 \Rightarrow b + 2c = 18$. Com $c = 4$, $b = 10$, $N = 17$. Com $c = 5$, $b = 8$, $N = 16$. Máximo 17.

• $a = 1$: $2b + 4c = 38 \Rightarrow b + 2c = 19$. Com $c = 5$, $b = 9$, $N = 15$. Com $c = 6$, $b = 7$, $N = 14$. Máximo 15.

Portanto, o maior número de moedas é 21, com 9 moedas de R$ 0,25, 9 de R$ 0,50 e 3 de R$ 1,00. Verificando: 9 × 0,25 = 2,25; 9 × 0,50 = 4,50; 3 × 1,00 = 3,00; total = 9,75. Total de moedas = 9 + 9 + 3 = 21.

Alternativa A — ❌ Incorreta

15 moedas é uma combinação possível, mas não é a máxima. Por exemplo, com 1 moeda de R$ 0,25, 9 de R$ 0,50 e 5 de R$ 1,00, temos 15 moedas e total R$ 9,75, mas conseguimos mais moedas com a combinação da letra E.

Alternativa B — ❌ Incorreta

17 moedas também é possível (ex.: 3 de R$ 0,25, 10 de R$ 0,50 e 4 de R$ 1,00), mas não é o máximo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

18 moedas é possível (ex.: 5 de R$ 0,25, 9 de R$ 0,50 e 4 de R$ 1,00), mas ainda não é o máximo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

20 moedas é possível (ex.: 7 de R$ 0,25, 10 de R$ 0,50 e 3 de R$ 1,00), mas não é o máximo.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

21 moedas é o máximo, com 9 moedas de R$ 0,25, 9 de R$ 0,50 e 3 de R$ 1,00, totalizando R$ 9,75. Qualquer tentativa de usar mais moedas exigiria mais moedas de R$ 0,25, mas o limite de 10 e a paridade da equação impedem.

Gabarito: letra E