Questão de Matemática — Álgebra — FGV 2023

Problema de perseguição entre corredores

Gabarito: letra D — o corredor A percorrerá 360 m até alcançar B. A velocidade de A é 50% maior que a de B, então, enquanto B percorre uma distância $d$, A percorre $1{,}5d$. Como A precisa vencer os 120 m de vantagem, a diferença entre as distâncias percorridas deve ser exatamente 120 m: $1{,}5d - d = 120 \Rightarrow 0{,}5d = 120 \Rightarrow d = 240$ m (distância percorrida por B). Logo, A percorre $1{,}5 \times 240 = 360$ m.

Este é um clássico problema de encontro de móveis com velocidades constantes. A chave está em perceber que, como ambos correm durante o mesmo intervalo de tempo até o encontro, a distância percorrida por cada um é diretamente proporcional à sua velocidade. Se a velocidade de A é 50% maior que a de B, então, no mesmo tempo, A percorre 50% a mais de distância que B.

A diferença entre as distâncias percorridas é exatamente a vantagem inicial de B (120 m). Essa diferença corresponde a 50% da distância percorrida por B (já que A percorre 50% a mais). Portanto, 50% da distância de B = 120 m, o que nos dá a distância de B = 240 m. A distância de A é 240 m + 120 m = 360 m.

Alternativa A — ❌ Incorreta

240 m é a distância percorrida pelo corredor B, não por A. Quem marca esta alternativa confunde a distância do perseguido com a do perseguidor, esquecendo de somar a vantagem inicial de 120 m.

Alternativa B — ❌ Incorreta

300 m não corresponde a nenhuma grandeza direta do problema. É um distrator que surge de um raciocínio incompleto, como calcular $120 \times 2{,}5$ (sem base lógica) ou tentar uma média entre 240 e 360.

Alternativa C — ❌ Incorreta

320 m também é um distrator sem fundamento no problema. Pode surgir de um erro de interpretação da porcentagem, como considerar que A percorre $\frac{4}{3}$ da distância de B (em vez de $\frac{3}{2}$), o que daria $\frac{4}{3} \times 240 = 320$ m.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A resolução correta: seja $d$ a distância percorrida por B até o encontro. Como A é 50% mais rápido, ele percorre $1{,}5d$. A diferença entre as distâncias é a vantagem inicial: $1{,}5d - d = 120 \Rightarrow 0{,}5d = 120 \Rightarrow d = 240$ m. Portanto, A percorre $1{,}5 \times 240 = 360$ m.

Alternativa E — ❌ Incorreta

480 m seria a distância percorrida por A se a vantagem inicial fosse de 160 m (pois $0{,}5d = 160 \Rightarrow d = 320$ e $1{,}5 \times 320 = 480$). É um distrator que surge ao se confundir a vantagem ou a proporção de velocidades.

Gabarito: letra D