Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2023

Juros compostos e porcentagem: resolução de problema com saque intermediário

Gabarito: letra D. O primeiro depósito foi de R$ 4.000,00, que está entre R$ 3.950,00 e R$ 4.050,00. A resolução é feita de trás para frente: o montante final de R$ 4.428,00 corresponde ao valor que ficou após o saque, capitalizado por 8%; esse valor, somado aos R$ 300,00 sacados, é o montante do primeiro ano, que corresponde ao depósito inicial capitalizado por 10%.

Vamos chamar de $C$ o valor do primeiro depósito. No fim do primeiro ano, o montante é $C \times 1{,}10$. Após sacar R$ 300,00, o valor que permanece no fundo é $C \times 1{,}10 - 300$. Esse valor rende 8% no segundo ano, resultando em R$ 4.428,00. A equação que traduz o problema é:

Resolvendo passo a passo:

1. Divida ambos os lados por 1,08: $C \times 1{,}10 - 300 = \dfrac{4.428}{1{,}08} = 4.100$.

2. Some 300: $C \times 1{,}10 = 4.400$.

3. Divida por 1,10: $C = \dfrac{4.400}{1{,}10} = 4.000$.

Portanto, o depósito inicial foi de R$ 4.000,00, que se encontra no intervalo da letra D (R$ 3.950,00 a R$ 4.050,00).

A pegadinha clássica deste tipo de questão é tentar resolver de frente, aplicando os percentuais diretamente sobre o valor final ou somando os percentuais (10% + 8% = 18%). Isso está errado porque os juros são compostos e há um saque no meio do período. O caminho correto é sempre retroceder a partir do montante final, desfazendo cada rendimento e cada saque na ordem inversa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O intervalo R$ 3.650,00 a R$ 3.750,00 não contém R$ 4.000,00. Se o depósito fosse, por exemplo, R$ 3.700,00, o montante final seria menor que R$ 4.428,00. O erro aqui é subestimar o valor inicial, provavelmente por aplicar os percentuais de forma incorreta ou por não considerar o saque corretamente.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo R$ 3.750,00 a R$ 3.850,00 também não contém R$ 4.000,00. Valores nessa faixa resultariam em um montante final inferior ao dado no enunciado. A banca coloca intervalos próximos para testar se o candidato fez o cálculo exato ou apenas uma estimativa grosseira.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O intervalo R$ 3.850,00 a R$ 3.950,00 está abaixo do valor correto. R$ 4.000,00 é o limite superior desse intervalo, mas não está incluído nele (o intervalo é aberto em 3.950,00). Portanto, mesmo que o valor estivesse próximo, não pertence a esse intervalo.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor calculado é exatamente R$ 4.000,00, que está dentro do intervalo de R$ 3.950,00 a R$ 4.050,00. A alternativa espelha o resultado da equação montada a partir do enunciado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O intervalo R$ 4.050,00 a R$ 4.150,00 está acima do valor correto. Se o depósito fosse R$ 4.100,00, por exemplo, o montante final seria maior que R$ 4.428,00. A banca coloca esse intervalo para capturar quem superestima o valor inicial, talvez por esquecer de subtrair o saque ou por aplicar os juros de forma acumulada incorretamente.

Gabarito: letra D