Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg065882

Progressão Geométrica: termo geral e razão

Gabarito: letra C — o 1º termo é $2 + \sqrt{2}$ . A resolução usa a fórmula do termo geral da PG, $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ , aplicada aos termos dados (20º e 39º) para montar um sistema que determina a razão $q$ e, em seguida, o primeiro termo $a_1$ .

A ideia por trás

Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o anterior multiplicado por uma constante $q$ , chamada razão. O termo geral é $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ . Com dois termos conhecidos, podemos montar um sistema para achar $a_1$ e $q$ .

Temos:

$a_{20} = a_1 \cdot q^{19} = 4 - 2\sqrt{2}$
$a_{39} = a_1 \cdot q^{38} = 40 - 28\sqrt{2}$

Dividindo a segunda equação pela primeira, eliminamos $a_1$ :

\frac{a_{39}}{a_{20}} = \frac{a_1 \cdot q^{38}}{a_1 \cdot q^{19}} = q^{19} = \frac{40 - 28\sqrt{2}}{4 - 2\sqrt{2}}

Agora, simplificamos a fração. Observamos que $40 - 28\sqrt{2} = 4(10 - 7\sqrt{2})$ e $4 - 2\sqrt{2} = 2(2 - \sqrt{2})$ . Mas vamos tentar escrever o numerador como um múltiplo do denominador. Note que:

(4 - 2\sqrt{2})^2 = 16 - 16\sqrt{2} + 8 = 24 - 16\sqrt{2} = 8(3 - 2\sqrt{2})

Isso não parece ajudar diretamente. Vamos tentar outra abordagem: supor que $q^{19}$ seja da forma $a + b\sqrt{2}$ . Calculando:

(4 - 2\sqrt{2})(a + b\sqrt{2}) = 4a + 4b\sqrt{2} - 2a\sqrt{2} - 4b = (4a - 4b) + (4b - 2a)\sqrt{2}

Queremos que isso seja igual a $40 - 28\sqrt{2}$ . Então:

$4a - 4b = 40$
$4b - 2a = -28$

Da primeira, $a - b = 10$ , logo $a = b + 10$ . Substituindo na segunda: $4b - 2(b+10) = -28 \Rightarrow 4b - 2b - 20 = -28 \Rightarrow 2b = -8 \Rightarrow b = -4$ . Então $a = 6$ .

Portanto, $q^{19} = 6 - 4\sqrt{2}$ . Mas será que isso é uma potência de algo mais simples? Vamos testar se $q = \sqrt{2} - 1$ ou algo assim. Calculando $(\sqrt{2} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{2}$ . E $(\sqrt{2} - 1)^3 = (\sqrt{2} - 1)(3 - 2\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 4 - 3 + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2} - 7$ . Não parece.

Vamos tentar $q = 1 - \sqrt{2}$ . Então $q^2 = 3 - 2\sqrt{2}$ , $q^3 = (1-\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2} - 3\sqrt{2} + 4 = 7 - 5\sqrt{2}$ . Não.

Talvez $q^{19}$ não seja uma potência simples. Mas podemos encontrar $a_1$ diretamente sem precisar explicitar $q$ . Da primeira equação:

a_1 = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{q^{19}} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{6 - 4\sqrt{2}}

Racionalizando:

a_1 = \frac{(4 - 2\sqrt{2})(6 + 4\sqrt{2})}{(6 - 4\sqrt{2})(6 + 4\sqrt{2})} = \frac{24 + 16\sqrt{2} - 12\sqrt{2} - 16}{36 - 32} = \frac{8 + 4\sqrt{2}}{4} = 2 + \sqrt{2}

Confirmando o gabarito.

Caso	Atribuição de (a_1)	$(q^{19} = \frac{a_{20}}{a_1})$	(q^{38} = (q^{19})^2)	Comparação com $a_{39} = 40 - 28\sqrt{2}$	Resultado
A	(1)	$(4 - 2\sqrt{2})$	$(24 - 16\sqrt{2})$	$(24 - 16\sqrt{2} \neq 40 - 28\sqrt{2})$	Inviável
B	$(\sqrt{2})$	$(2\sqrt{2} - 2)$	$(12 - 8\sqrt{2})$	$(12 - 8\sqrt{2} \neq 40 - 28\sqrt{2})$	Inviável
C	$(2 + \sqrt{2})$	$(6 - 4\sqrt{2})$	$(40 - 28\sqrt{2})$	$(40 - 28\sqrt{2} = 40 - 28\sqrt{2})$	Consistente
D	$(2 - \sqrt{2})$	(2)	(4)	$(4 \neq 40 - 28\sqrt{2})$	Inviável
E	$(3 + \sqrt{2})$	$(\frac{16 - 10\sqrt{2}}{7})$	$(\left(\frac{16 - 10\sqrt{2}}{7}\right)^2)$	Valor não coincide com $40 - 28\sqrt{2}$	Inviável

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1 não satisfaz a relação entre os termos. Se $a_1 = 1$ , então $q^{19} = 4 - 2\sqrt{2}$ e $q^{38} = (4 - 2\sqrt{2})^2 = 24 - 16\sqrt{2}$ , que não é igual a $40 - 28\sqrt{2}$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

Se $a_1 = \sqrt{2}$ , então $q^{19} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} - 2$ . E $q^{38} = (2\sqrt{2} - 2)^2 = 8 - 8\sqrt{2} + 4 = 12 - 8\sqrt{2}$ , que não é $40 - 28\sqrt{2}$ .

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, $a_1 = 2 + \sqrt{2}$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

Se $a_1 = 2 - \sqrt{2}$ , então $q^{19} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{2(2 - \sqrt{2})}{2 - \sqrt{2}} = 2$ . Logo $q^{38} = 2^2 = 4$ , mas o valor correto é $40 - 28\sqrt{2}$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

Se $a_1 = 3 + \sqrt{2}$ , então $q^{19} = \frac{4 - 2\sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}}$ . Racionalizando: $\frac{(4 - 2\sqrt{2})(3 - \sqrt{2})}{9 - 2} = \frac{12 - 4\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 4}{7} = \frac{16 - 10\sqrt{2}}{7}$ , que não é um valor que leve a $q^{38}$ correto.

NÃO CAIA NESSA!

A banca não exige que você encontre a razão $q$ explicitamente. Muitos candidatos tentam calcular $q$ primeiro e se perdem em contas com radicais. O truque é usar $q^{19}$ como uma incógnita única e eliminá-la para achar $a_1$ diretamente.

PEGA ESSA DICA!

Em questões de PG com termos em posições distantes, divida os termos para eliminar $a_1$ e obter uma potência da razão. Depois, use essa potência para isolar $a_1$ sem precisar extrair a raiz.

Gabarito: letra C