Questão de Matemática — Progressões — FGV 2023

Sequências Numéricas — Relação de Recorrência

Gabarito: letra E. A relação de recorrência dada define $a_{n+1}$ como a média aritmética dos $n$ termos anteriores ($a_1, a_2, \dots, a_n$). Ao calcular os primeiros termos, observa-se que $a_4 = \frac{a_1+a_2+a_3}{3} = \frac{3-\sqrt{3}-\sqrt{2} + \sqrt{2} + \sqrt{3}}{3} = \frac{3}{3} = 1$. Para $n=4$, $a_5 = \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4} = \frac{3+1}{4} = 1$. Por indução, verifica-se que $a_n = 1$ para todo $n \geq 4$, o que torna a igualdade $a_{13} = a_{31} = 1$ verdadeira.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A sequência não é uma Progressão Aritmética (PA). Embora a partir do 4º termo ela se torne constante (o que tecnicamente é uma PA de razão 0), os termos iniciais ($a_1, a_2, a_3, a_4$) não seguem uma diferença constante. Por exemplo, $a_2 - a_1 = 2\sqrt{2} + \sqrt{3} - 3$, enquanto $a_3 - a_2 = \sqrt{3} - \sqrt{2}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A sequência não é uma Progressão Geométrica (PG). Para ser uma PG, a razão entre termos consecutivos deveria ser constante. Como visto, a sequência torna-se constante igual a 1 a partir do 4º termo, mas os termos iniciais não mantêm a mesma razão.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A afirmação é falsa pois o primeiro termo $a_1 = 3 - \sqrt{3} - \sqrt{2}$ é positivo (aproximadamente $3 - 1,732 - 1,414 = -0,146$), mas o cálculo correto de $a_1$ revela que ele é, na verdade, negativo. Como $a_1 < 0$, a sequência possui, sim, termos negativos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A afirmação diz que $a_{n+1} > a_n$ para todo $n \geq 3$. No entanto, demonstramos que a partir de $n=4$, todos os termos da sequência são iguais a 1 ($a_4=1, a_5=1, a_6=1, \dots$). Portanto, $a_{n+1} = a_n$ para $n \geq 4$, invalidando a desigualdade estrita.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a sequência estabiliza no valor 1 a partir do quarto termo. Assim, $a_{13} = 1$ e $a_{31} = 1$, confirmando a igualdade.