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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2023

MatemáticaProbabilidade
Código
fg065980
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de Niterói - RJ
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Arquiteto
Um dado cúbico, cujas faces numeradas de 1 a 6 são igualmente prováveis de ocorrer, é lançado duas vezes. A soma dos números obtidos determina a medida do lado de um triângulo equilátero.A probabilidade de que o valor numérico da área do referido triângulo seja menor do que o valor numérico do semiperímetro desse triângulo é
  1. A1/12
  2. B1/9
  3. C5/18
  4. D1/6
  5. E1/36
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 1/12

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 1/12 (alternativa A).

A ideia por trás

A probabilidade clássica mede a chance de um evento como a razão entre os casos favoráveis e o total de casos possíveis, quando todos são igualmente prováveis. Aqui o total de resultados ao lançar dois dados é 36 (6×6). A área de um triângulo equilátero de lado L é A = L²√3/4, e o semiperímetro é p = 3L/2. A área cresce com o quadrado do lado, enquanto o semiperímetro cresce linearmente, então para lados pequenos a área é menor que o semiperímetro, mas a partir de um certo valor a área ultrapassa. Nesta questão, precisamos descobrir para quais somas L a condição A < p vale, e depois contar quantas combinações de dados produzem essas somas.

O que a questão dá

  • dado com faces 1 a 6 igualmente prováveis

  • lançado duas vezes

  • soma dos números = lado L do triângulo equilátero

O que queremos: probabilidade de que a área do triângulo seja menor que o semiperímetro

Passo 1 — Escrever a condição de área menor que semiperímetro

O enunciado pede que a área seja menor que o semiperímetro. Para saber quais somas L satisfazem isso, precisamos montar a inequação com as fórmulas da área e do semiperímetro.

Por que esta fórmula: A área do triângulo equilátero é A = L²√3/4, pois a fórmula geral da área de um triângulo é base×altura/2, e a altura de um equilátero é L√3/2. O semiperímetro é metade do perímetro: p = 3L/2.

L234<3L2\frac{L^{2}\sqrt{3}}{4} < \frac{3L}{2}

De onde vem cada valor: LL = enunciado: soma dos dois dados · 3\sqrt{3} = constante da fórmula da área do triângulo equilátero · 3L/23L/2 = semiperímetro: perímetro 3L dividido por 2

L234<3L2\frac{L^{2}\sqrt{3}}{4} < \frac{3L}{2}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o semiperímetro é 3L/2 e usar L/2 ou 3L.

Passo 2 — Isolar L na inequação

Precisamos descobrir quais valores de L satisfazem a condição. Como L é positivo (soma de dados), podemos multiplicar ambos os lados por 4 e dividir por L sem inverter o sinal.

Por que esta fórmula: Multiplicar por 4 elimina o denominador 4, e dividir por L (que é positivo) simplifica o L do lado direito. Isso é uma manipulação algébrica padrão para isolar a variável.

L3<6L\sqrt{3} < 6

De onde vem cada valor: L3L\sqrt{3} = resultado de multiplicar por 4 e dividir por L · 66 = resultado de 3L/2 × 4 / L = 6

L3<6L\sqrt{3} < 6
NÃO CAIA NESSA!

Inverter o sinal da desigualdade ao dividir por L, mas como L>0 não inverte.

Passo 3 — Calcular o limite de L

Agora que temos L√3 < 6, precisamos saber até que valor inteiro L pode ir. Dividindo por √3 obtemos o limite superior.

Por que esta fórmula: Dividir ambos os lados por √3 isola L. Como √3 ≈ 1,732, o limite é aproximadamente 3,46.

L<63=23≈3,46L < \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46

De onde vem cada valor: 66 = passo 2 · 3\sqrt{3} = constante · 232\sqrt{3} = simplificação de 6/√3 = 2√3

L<61,732≈3,46=L<3,46L < \frac{6}{1{,}732} \approx 3{,}46 = \boxed{\text{L} < 3,46}
NÃO CAIA NESSA!

Arredondar para 3,5 e incluir L=4, mas a condição é estritamente menor que 3,46, então L=4 não vale.

Passo 4 — Listar as somas possíveis dos dados

L é a soma de dois dados, então só pode ser inteiro de 2 a 12. Com o limite L < 3,46, os únicos valores inteiros possíveis são 2 e 3.

Por que esta fórmula: Não há fórmula; é uma análise dos valores inteiros no intervalo (0, 3,46).

L = 2 ou L = 3

NÃO CAIA NESSA!

Incluir L=4, pois 4 > 3,46.

Passo 5 — Contar as combinações para cada soma

Precisamos saber quantos resultados dos dois dados produzem soma 2 e soma 3, pois esses são os casos favoráveis.

Por que esta fórmula: Para soma 2, só existe (1,1). Para soma 3, existem (1,2) e (2,1). Contamos diretamente.

Nfavoraˊveis=1+2=3N_{favoráveis} = 1 + 2 = 3

De onde vem cada valor: 11 = combinação (1,1) para soma 2 · 22 = combinações (1,2) e (2,1) para soma 3

Nfavoraˊveis=1+2=3=3 combinac\co~esN_{favoráveis} = 1 + 2 = 3 = \boxed{3\ \text{combina}çõ\text{es}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar (1,2) e (2,1) como uma só, esquecendo que são resultados distintos.

Passo 6 — Calcular a probabilidade

A probabilidade é o número de casos favoráveis dividido pelo total de casos possíveis. O total de resultados ao lançar dois dados é 6×6 = 36.

Por que esta fórmula: Pela definição de Laplace, P = casos favoráveis / casos possíveis, quando todos são igualmente prováveis.

P=NfavoraˊveisNtotalP = \frac{N_{favoráveis}}{N_{total}}

De onde vem cada valor: NfavoraˊveisN_{favoráveis} = passo 5: 3 · NtotalN_{total} = enunciado: 6×6 = 36

P=336=1 /12P = \frac{3}{36} = \boxed{1\ /12}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 6 como total (esquecendo que são dois dados) ou contar 4 combinações.

Resposta: 1/12 (alternativa A)

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