GabaritoB — 2,75.
Gabarito: letra B — a conta chega a k = 2,75 (alternativa B).
A distância entre dois pontos no plano cartesiano mede o comprimento do segmento de reta que os une, e é calculada pela fórmula d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras: a diferença das coordenadas x e y formam os catetos de um triângulo retângulo, e a distância é a hipotenusa. Quando um ponto está à mesma distância de dois outros, dizemos que ele pertence à mediatriz do segmento que une esses dois pontos — a reta perpendicular que passa pelo ponto médio. Nesta questão, o ponto C tem ordenada fixa y = 1, então procuramos o ponto dessa reta que também está sobre a horizontal y = 1; igualar as distâncias é o caminho direto.
A = (1, 7)
B = (9, 1)
C = (k, 1)
d(C, A) = d(C, B)
O que queremos: o valor de k
Para comparar as distâncias, precisamos primeiro expressar cada uma em função de k. A distância entre dois pontos é o comprimento do segmento que os une, calculado pela raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças das coordenadas.
Por que esta fórmula: A fórmula da distância entre dois pontos (x₁,y₁) e (x₂,y₂) é d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²), pois é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelas diferenças das coordenadas.
De onde vem cada valor: = enunciado: C = (k, 1) · = enunciado: A = (1, 7) · = enunciado: diferença das ordenadas de C e A
Esquecer de elevar ao quadrado a diferença das ordenadas, ou errar o sinal: (1-7) = -6, mas ao quadrado dá 36.
Assim como fizemos para A, precisamos da distância de C a B para poder igualá-las. Como C e B têm a mesma ordenada (y = 1), a distância é simplesmente a diferença das abscissas.
Por que esta fórmula: Aplicando a mesma fórmula da distância, mas agora com os pontos C(k,1) e B(9,1). Como as ordenadas são iguais, a diferença (1-1) é zero, simplificando a expressão.
De onde vem cada valor: = enunciado: C = (k, 1) · = enunciado: B = (9, 1) · = enunciado: diferença das ordenadas de C e B
Não perceber que (1-1) = 0, então a distância é apenas o módulo de (k-9).
A condição do problema é que C esteja à mesma distância de A e de B, ou seja, d(C,A) = d(C,B). Para eliminar as raízes quadradas, elevamos ambos os lados ao quadrado — isso é válido porque as distâncias são não negativas.
Por que esta fórmula: Elevar ao quadrado é a maneira de simplificar a equação com raízes, transformando-a em uma equação polinomial mais fácil de resolver.
De onde vem cada valor: = passo 1: d(C,A) ao quadrado · = passo 2: d(C,B) ao quadrado
Esquecer de elevar ao quadrado o termo 36, ou elevar apenas um lado.
Para resolver a equação, precisamos eliminar os parênteses usando produtos notáveis. Isso transforma a equação em uma forma linear, já que os termos k² se cancelam.
Por que esta fórmula: Usamos (a−b)² = a² − 2ab + b² para expandir (k−1)² e (k−9)².
De onde vem cada valor: = expansão de (k-1)^2 · = passo 3: termo constante · = expansão de (k-9)^2
Errar o sinal no termo -2k ou -18k, ou esquecer de somar 36 ao 1.
Com a equação simplificada, agora precisamos encontrar o valor de k que a satisfaz. Como k² aparece dos dois lados, podemos cancelá-lo e resolver a equação linear resultante.
Por que esta fórmula: Cancelar k² e isolar k: subtraímos k² de ambos os lados, depois somamos 18k e subtraímos 37 para deixar k de um lado.
De onde vem cada valor: = passo 4: lado esquerdo · = passo 4: lado direito · = após simplificação
Errar a aritmética ao mover termos: por exemplo, esquecer de trocar o sinal ao passar -18k para o outro lado.
Resposta: k = 2,75 (alternativa B)
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