Questão de Matemática — Triângulos — FGV 2023

Área do triângulo equilátero

Gabarito: letra C — a área da região interior é 36√3 dm². Como o perímetro é 36 dm, cada lado mede 12 dm; aplicando a fórmula da área do triângulo equilátero $A = \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}$, obtemos $A = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ dm².

Um triângulo equilátero é aquele que possui os três lados congruentes e, consequentemente, os três ângulos internos iguais a 60°. O perímetro é a soma dos três lados, então, com perímetro 36 dm, cada lado mede $\ell = \frac{36}{3} = 12$ dm.

A área de um triângulo qualquer é dada por $A = \frac{\text{base} \times \text{altura}}{2}$. No equilátero, a altura pode ser obtida pelo teorema de Pitágoras: traçando a altura, ela divide a base ao meio, formando um triângulo retângulo com hipotenusa $\ell$, um cateto $\frac{\ell}{2}$ e o outro cateto sendo a altura $h$. Assim:

Então a área é:

Outra forma, mais direta, é usar a fórmula específica para o triângulo equilátero: $A = \frac{\ell^2 \sqrt{3}}{4}$. Substituindo $\ell = 12$:

A banca explora a confusão entre o fator $\sqrt{3}$ e $\sqrt{2}$: o $\sqrt{2}$ aparece em figuras com diagonais de quadrados, não em triângulos equiláteros. Além disso, alguns candidatos esquecem de dividir por 4 e marcam $144\sqrt{3}$ (que nem está nas opções) ou confundem o lado com o dobro.

Alternativa A — ❌ Incorreta

6√2 dm² — valor muito pequeno, sem relação com o cálculo. O $\sqrt{2}$ não aparece na área de um triângulo equilátero; ele é típico de diagonais de quadrados. O número 6 também não corresponde a nenhuma medida relevante aqui (o lado é 12, a altura é $6\sqrt{3}$).

Alternativa B — ❌ Incorreta

36√2 dm² — o coeficiente 36 está correto, mas o radical está errado. A área do triângulo equilátero envolve $\sqrt{3}$, não $\sqrt{2}$. O $\sqrt{2}$ seria usado, por exemplo, na diagonal de um quadrado de lado 6, não na altura de um triângulo equilátero.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

36√3 dm² — exatamente o resultado obtido: $A = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}$ dm². O coeficiente 36 vem de $144/4$, e o radical $\sqrt{3}$ é característico da altura do triângulo equilátero.

Alternativa D — ❌ Incorreta

72√2 dm² — o coeficiente 72 seria o dobro do correto (36), e o radical $\sqrt{2}$ novamente errado. O 72 poderia surgir se o aluno calculasse $12 \times 6$ sem dividir por 2, mas mesmo assim o radical seria $\sqrt{3}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

72√3 dm² — o radical está certo, mas o coeficiente 72 é o dobro do correto. Isso acontece quando o aluno calcula $\text{base} \times \text{altura}$ sem dividir por 2: $12 \times 6\sqrt{3} = 72\sqrt{3}$. A divisão por 2 é essencial na fórmula da área do triângulo.

Gabarito: letra C