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Questão de Matemática — Triângulos — FGV 2023

MatemáticaTriângulos
Código
fg067636
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de São José dos Campos - SP
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor II - Matemática
Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa a divide em partes que medem 4,5cm e 8cm.A área desse triângulo mede
  1. A36,0cm².
  2. B36,5cm².
  3. C37,0cm².
  4. D37,5cm².
  5. E38,0cm².
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 37,5cm².

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 37,5 cm² (alternativa D).

A ideia por trás

No triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo em dois triângulos menores semelhantes entre si e ao original. Essa semelhança gera relações métricas que ligam a altura h às projeções m e n dos catetos sobre a hipotenusa: h² = m·n. A hipotenusa inteira é a soma das projeções: a = m + n. A área do triângulo é metade do produto da base (hipotenusa) pela altura relativa a ela: A = (a·h)/2. Nesta questão, precisamos primeiro achar a altura usando a relação h² = m·n, depois somar as projeções para obter a hipotenusa e, por fim, aplicar a fórmula da área.

O que a questão dá

  • projeção m = 4,5 cm

  • projeção n = 8 cm

O que queremos: a área do triângulo retângulo

Passo 1 — Calcular a altura relativa à hipotenusa

A altura é essencial para a área, e a relação métrica h² = m·n permite achá-la diretamente a partir das projeções dadas. Essa relação vem da semelhança dos triângulos menores: o quadrado da altura é igual ao produto das projeções.

Por que esta fórmula: É a relação métrica fundamental que liga a altura às projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Como conhecemos m e n, é a única forma direta de obter h.

h2=m⋅nh^{2} = m \cdot n

De onde vem cada valor: mm = enunciado: 4,5 cm · nn = enunciado: 8 cm

h2=4,5×8h^{2} = 4{,}5 \times 8
h=6 cmh = \boxed{6\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de tirar a raiz quadrada e usar h² = 36 como se fosse a altura.

Passo 2 — Somar as projeções para obter a hipotenusa

A área do triângulo usa a base, que é a hipotenusa. A altura divide a hipotenusa em dois segmentos, então a hipotenusa inteira é a soma deles.

Por que esta fórmula: A hipotenusa é o segmento total que contém as duas projeções, então basta somá-las.

a=m+na = m + n

De onde vem cada valor: mm = enunciado: 4,5 cm · nn = enunciado: 8 cm

a=4,5+8a = 4{,}5 + 8
a=12,5 cma = \boxed{12{,}5\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 12 cm em vez de 12,5 cm, talvez por arredondamento mental ou confusão com a altura 6 cm.

Passo 3 — Calcular a área do triângulo

Com a base (hipotenusa) e a altura relativa a ela, a área é metade do produto dessas duas medidas. Essa é a fórmula geral da área de qualquer triângulo.

Por que esta fórmula: A área de um triângulo é sempre (base × altura)/2. Aqui a base é a hipotenusa e a altura é a relativa a ela.

A=a⋅h2A = \frac{a \cdot h}{2}

De onde vem cada valor: aa = passo 2: 12,5 cm · hh = passo 1: 6 cm

A=12,5×62A = \frac{12{,}5 \times 6}{2}
A=37,5 cm2A = \boxed{37{,}5\ \text{cm}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a hipotenusa como 12 cm (erro do passo 2) e obter 36 cm², caindo na alternativa A.

Resposta: 37,5 cm² (alternativa D)

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