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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2023

MatemáticaProbabilidade
Código
fg067639
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de São José dos Campos - SP
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor II - Matemática
Dois jogadores A e B disputam uma sequência de partidas de gamão. Sagra-se campeão aquele que vencer 3 partidas consecutivas.O número de maneiras distintas de o jogador A ser o campeão jogando, no máximo, 6 partidas, é igual a
  1. A4.
  2. B5.
  3. C6.
  4. D7.
  5. E8.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 7.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 7 (letra D).

A ideia por trás

Este problema é de contagem de sequências com uma condição de parada. Quando uma competição termina assim que um certo evento ocorre (aqui, 3 vitórias consecutivas), não podemos simplesmente contar todas as sequências de comprimento fixo que contêm o evento; precisamos garantir que o evento não tenha ocorrido antes do final. A ideia é construir as sequências por tamanho, sempre terminando com a terceira vitória consecutiva de A, e verificar que nenhuma sequência mais curta já teria encerrado o jogo. A contagem correta soma os casos de 3, 4, 5 e 6 partidas, resultando em 7.

O que a questão dá

  • campeão: quem vencer 3 partidas consecutivas

  • máximo de 6 partidas

  • jogador A é o campeão

O que queremos: o número de maneiras distintas de A ser campeão em até 6 partidas

Passo 1 — Listar as sequências de 3 partidas

Começamos pelo menor número de partidas possível para A ser campeão: 3. Se A vence as três primeiras, o jogo termina imediatamente. Essa é a base da contagem.

1 seque^ncia:AAA\boxed{1\ \text{sequ}ê\text{ncia}: \text{AAA}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que AAA é a única sequência de 3 partidas que coroa A.

Passo 2 — Listar as sequências de 4 partidas

Com 4 partidas, A deve vencer as três últimas (posições 2,3,4) para ser campeão no final. Mas precisamos garantir que ele não tenha vencido três consecutivas antes (posições 1,2,3). A única forma é perder a primeira partida.

1 seque^ncia:BAAA\boxed{1\ \text{sequ}ê\text{ncia}: \text{BAAA}}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir AAAA, mas isso já teria terminado na 3ª partida.

Passo 3 — Listar as sequências de 5 partidas

Com 5 partidas, A vence as três últimas (posições 3,4,5). Para não ter terminado antes, as posições 1-3 não podem ser todas A, e as posições 2-4 também não. Isso restringe as duas primeiras partidas.

2 seque^ncias:ABAAAeBBAAA\boxed{2\ \text{sequ}ê\text{ncias}: \text{ABAAA} \text{e} \text{BBAAA}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar AAABA, mas aí A teria vencido as três primeiras (posições 1-3) e o jogo teria terminado antes.

Passo 4 — Listar as sequências de 6 partidas

Com 6 partidas, A vence as três últimas (posições 4,5,6). Para não ter terminado antes, nenhum bloco de três consecutivas nas posições 1-3, 2-4 ou 3-5 pode ser todo A. Isso gera exatamente três possibilidades.

3 seque^ncias:AABAAA,ABBAAAeBBBAAA\boxed{3\ \text{sequ}ê\text{ncias}: \text{AABAAA}, \text{ABBAAA} \text{e} \text{BBBAAA}}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir AAABAA, mas aí A teria vencido as três primeiras (posições 1-3) e o jogo teria terminado na 3ª partida.

Passo 5 — Somar todas as sequências

Agora que temos as quantidades para cada tamanho, basta somá-las para obter o total de maneiras distintas.

Por que esta fórmula: A soma é a operação final: total = casos de 3 + casos de 4 + casos de 5 + casos de 6.

T=1+1+2+3T = 1 + 1 + 2 + 3

De onde vem cada valor: 11 = passo 2 · 22 = passo 3 · 33 = passo 4

T=1+1+2+3=7T = 1 + 1 + 2 + 3 = \boxed{7}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar algum caso, como os de 5 ou 6 partidas.

Resposta: 7 (letra D)

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