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Questão de Matemática — Triângulos — FGV 2023

MatemáticaTriângulos
Código
fg067641
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de São José dos Campos - SP
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor II - Matemática
Sejam r e s duas retas paralelas distintas, distantes 6 cm uma da outra. Sobre s, há dois pontos fixos B e C, distintos, distando 5cm um do outro. Um ponto A será escolhido na reta r.O menor valor que o perímetro do triângulo ABC pode ter é
  1. A16cm.
  2. B17cm.
  3. C18cm.
  4. D19cm.
  5. E20cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 18cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 18 cm (alternativa C).

A ideia por trás

O perímetro de um triângulo é a soma de seus três lados. Aqui, dois lados (AB e AC) variam conforme a posição de A sobre a reta r, enquanto BC é fixo. Para minimizar a soma AB + AC, usamos a técnica de reflexão: espelhar um dos pontos fixos (B ou C) em relação à reta r. A distância de um ponto refletido a qualquer ponto A sobre r é igual à distância original, então o problema vira encontrar o menor caminho entre dois pontos, que é a linha reta. Assim, o perímetro mínimo é BC + B'C, onde B' é o reflexo de B. A distância B'C é calculada pelo teorema de Pitágoras, pois forma um triângulo retângulo com catetos 12 cm (dobro da distância entre as retas) e 5 cm (BC).

O que a questão dá

  • distância entre as retas r e s = 6 cm

  • BC = 5 cm

O que queremos: o menor perímetro do triângulo ABC

Passo 1 — Refletir o ponto B em relação à reta r

Para transformar o problema de minimizar AB + AC em um problema de caminho mínimo. A reflexão preserva distâncias: a distância de B' a qualquer ponto A sobre r é igual à distância de B a A. Assim, AB + AC = AB' + AC, e o menor valor dessa soma ocorre quando A, B' e C estão alinhados.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a distância de B a r é 6 cm, então BB' = 12 cm, não 6 cm.

Passo 2 — Calcular a distância BB'

Precisamos da distância entre B e seu reflexo B' para usar no teorema de Pitágoras. Como a distância entre as retas é 6 cm, e B está a 6 cm de r, seu reflexo B' está a 6 cm do outro lado, totalizando 12 cm.

Por que esta fórmula: A distância entre um ponto e seu reflexo é o dobro da distância do ponto ao eixo de reflexão.

BB′=2×dBB' = 2 \times d

De onde vem cada valor: dd = enunciado: distância entre as retas = 6 cm

BB′=2×6=12 cmBB' = 2 \times 6 = \boxed{12\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 6 cm em vez de 12 cm, subestimando a hipotenusa.

Passo 3 — Calcular a distância B'C

O caminho mínimo AB' + AC é a linha reta B'C. Para achar B'C, usamos o teorema de Pitágoras, pois B'C é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos BB' (12 cm) e BC (5 cm).

Por que esta fórmula: O segmento B'C liga o ponto refletido B' ao ponto C, formando um triângulo retângulo com a perpendicular entre as retas e o segmento BC.

B'C = √(BB'^2 + BC^2)

De onde vem cada valor: BB′BB' = passo 2: 12 cm · BCBC = enunciado: 5 cm

B'C = sqrt12^2 + 5^2 = 13\ cm
NÃO CAIA NESSA!

Somar os catetos (12+5=17) em vez de usar a hipotenusa.

Passo 4 — Somar BC com B'C para obter o perímetro

O perímetro mínimo é a soma do lado fixo BC com o caminho mínimo B'C. Como BC é fixo e B'C é o menor valor de AB' + AC, essa soma dá o menor perímetro.

Por que esta fórmula: O perímetro do triângulo é AB + AC + BC, e no ponto de mínimo AB + AC = B'C.

Pmin=BC+B′CP_{min} = BC + B'C

De onde vem cada valor: BCBC = enunciado: 5 cm · B′CB'C = passo 3: 13 cm

Pmin=5+13=18 cmP_{min} = 5 + 13 = \boxed{18\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar BC, obtendo apenas 13 cm.

Resposta: 18 cm (alternativa C)

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