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Questão de Matemática — Poliedros — FGV 2023

MatemáticaPoliedros
Código
fg067645
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de São José dos Campos - SP
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor II - Matemática
Um poliedro convexo tem 9 faces: uma triangular, quatro retangulares, duas pentagonais, uma hexagonal e uma heptagonal.A quantidade de vértices desse poliedro é
  1. A18.
  2. B17.
  3. C16.
  4. D15.
  5. E14.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 14.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 14 vértices (alternativa E).

A ideia por trás

Um poliedro é um sólido geométrico formado por faces planas, arestas e vértices. A Relação de Euler, V + F = A + 2, vale para todo poliedro convexo e relaciona essas três quantidades. Para usá-la, precisamos conhecer o número de faces (F) e o número de arestas (A). O número de arestas pode ser obtido contando os lados de todas as faces e dividindo por 2, pois cada aresta é compartilhada por duas faces. Nesta questão, temos as faces e precisamos calcular A para então achar V.

O que a questão dá

  • 1 face triangular

  • 4 faces retangulares

  • 2 faces pentagonais

  • 1 face hexagonal

  • 1 face heptagonal

O que queremos: o número de vértices do poliedro

Passo 1 — Contar os lados de cada tipo de face

Para calcular o número de arestas, precisamos primeiro saber quantos lados têm todas as faces juntas. Cada face é um polígono com um certo número de lados: triângulo tem 3, retângulo tem 4, pentágono tem 5, hexágono tem 6 e heptágono tem 7.

Por que esta fórmula: Multiplicamos a quantidade de faces de cada tipo pelo número de lados desse tipo, porque cada face contribui com exatamente esse número de lados para o total.

Ltotal=1×3+4×4+2×5+1×6+1×7L_{total} = 1 \times 3 + 4 \times 4 + 2 \times 5 + 1 \times 6 + 1 \times 7

De onde vem cada valor: 11 = enunciado: uma face heptagonal · 33 = número de lados de um triângulo · 44 = número de lados de um retângulo · 22 = enunciado: duas faces pentagonais · 55 = número de lados de um pentágono · 66 = número de lados de um hexágono · 77 = número de lados de um heptágono

Ltotal=1×3+4×4+2×5+1×6+1×7=42 ladosL_{total} = 1 \times 3 + 4 \times 4 + 2 \times 5 + 1 \times 6 + 1 \times 7 = \boxed{42\ \text{lados}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar a quantidade de faces pelo número de lados, somando apenas 1+4+2+1+1 = 9, o que não representa o total de lados.

Passo 2 — Calcular o número de arestas

Cada aresta é formada pelo encontro de duas faces, então cada aresta é contada duas vezes quando somamos os lados de todas as faces. Por isso, dividimos o total de lados por 2 para obter o número de arestas.

Por que esta fórmula: A fórmula A = L_total / 2 vem do fato de que cada aresta pertence a exatamente duas faces, então ao somar os lados de todas as faces, cada aresta é contada duas vezes.

A=Ltotal2A = \frac{L_{total}}{2}

De onde vem cada valor: LtotalL_{total} = passo 1: 42 lados

A=422=21 arestasA = \frac{42}{2} = \boxed{21\ \text{arestas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2 e usar A = 42, o que levaria a um número de vértices incorreto.

Passo 3 — Aplicar a Relação de Euler

Com o número de faces (F = 9) e o número de arestas (A = 21), podemos usar a Relação de Euler para encontrar o número de vértices. Essa relação é válida para todo poliedro convexo e é a ferramenta que liga as três quantidades.

Por que esta fórmula: A Relação de Euler, V + F = A + 2, é a única fórmula que relaciona vértices, faces e arestas de um poliedro convexo. Precisamos dela porque queremos V e temos F e A.

V+F=A+2V + F = A + 2

De onde vem cada valor: FF = enunciado: 9 faces · AA = passo 2: 21 arestas

V+9=21+2V + 9 = 21 + 2
V=14V = \boxed{14}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 2 no lado direito, usando V + F = A, o que daria V = 12.

Resposta: 14 vértices (alternativa E)

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