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Questão de Matemática — MMC e MDC — FGV 2023

MatemáticaMMC e MDC
Código
fg067729
Banca
FGV
Órgão
Receita Federal
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Analista-Tributário (manhã)
Um quadro-negro de forma retangular tem lados horizontais de 81,0cm e lados verticais de 70,2cm. Deseja-se traçar linhas horizontais e verticais igualmente espaçadas, de modo a cobrir inteiramente o quadro-negro de quadrados.O número mínimo de quadrados que se obtém dessa forma é igual a
  1. A195.
  2. B209.
  3. C216.
  4. D252.
  5. E280.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 195.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 195 quadrados (alternativa A).

A ideia por trás

Quando dividimos um retângulo em quadrados de mesmo tamanho, o lado de cada quadrado precisa dividir exatamente as duas dimensões do retângulo. Para obter o menor número de quadrados, o lado deve ser o maior possível, ou seja, o máximo divisor comum (MDC) das dimensões. O MDC é o maior número que divide ambos os valores sem deixar resto. Nesta questão, as dimensões estão em centímetros com uma casa decimal, então multiplicamos por 10 para trabalhar com inteiros, calculamos o MDC e depois dividimos cada lado por ele para achar quantos quadrados cabem em cada direção.

O que a questão dá

  • lado horizontal = 81,0 cm

  • lado vertical = 70,2 cm

O que queremos: o número mínimo de quadrados que cobrem o quadro-negro

Passo 1 — Transformar as medidas em números inteiros

Para calcular o MDC com facilidade, precisamos de números inteiros. Como as medidas têm uma casa decimal, multiplicamos por 10 para eliminar a vírgula.

Por que esta fórmula: Multiplicar por 10 desloca a vírgula uma casa para a direita, transformando 81,0 em 810 e 70,2 em 702.

81,0×10=810e70,2×10=70281{,}0 \times 10 = 810 \quad \text{e} \quad 70{,}2 \times 10 = 702

De onde vem cada valor: 81,081{,}0 = enunciado: lado horizontal · 70,270{,}2 = enunciado: lado vertical

81,0×10=810e70,2×10=702=810e70281{,}0 \times 10 = 810 \quad \text{e} \quad 70{,}2 \times 10 = 702 = \boxed{810 e 702}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar ambos os números por 10, o que levaria a um MDC com decimais e erros de cálculo.

Passo 2 — Calcular o MDC de 810 e 702

O MDC entre as dimensões (em inteiros) dará o lado do maior quadrado possível. Para isso, fatoramos cada número em primos e pegamos os fatores comuns com os menores expoentes.

Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores primos comuns com os menores expoentes. Fatorar ajuda a identificar esses fatores.

810=2×34×5e702=2×33×13810 = 2 \times 3^{4} \times 5 \quad \text{e} \quad 702 = 2 \times 3^{3} \times 13

De onde vem cada valor: 810810 = passo 1 · 702702 = passo 1

810=2×34×5e702=2×33×13810 = 2 \times 3^{4} \times 5 \quad \text{e} \quad 702 = 2 \times 3^{3} \times 13

MDC = 2 × 3³ = 54

NÃO CAIA NESSA!

Usar o MMC em vez do MDC, ou esquecer de considerar os expoentes menores.

Passo 3 — Voltar o MDC para a unidade original

O MDC calculado (54) está na unidade multiplicada por 10. Para obter o lado do quadrado em centímetros, dividimos por 10.

Por que esta fórmula: Como multiplicamos por 10 no passo 1, agora dividimos por 10 para reverter a transformação.

54÷10=5,454 \div 10 = 5{,}4

De onde vem cada valor: 5454 = passo 2

54÷10=5,4=5,4 cm54 \div 10 = 5{,}4 = \boxed{5{,}4\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 10 e usar 54 cm como lado do quadrado, o que daria um número errado de quadrados.

Passo 4 — Dividir o lado horizontal pelo lado do quadrado

Para saber quantos quadrados cabem na horizontal, dividimos a largura do quadro pelo lado do quadrado.

Por que esta fórmula: O número de quadrados em uma direção é a dimensão total dividida pelo lado de cada quadrado.

81,0÷5,4=1581{,}0 \div 5{,}4 = 15

De onde vem cada valor: 81,081{,}0 = enunciado: lado horizontal · 5,45{,}4 = passo 3

81,0÷5,4=15=15 quadrados81{,}0 \div 5{,}4 = 15 = \boxed{15\ \text{quadrados}}
NÃO CAIA NESSA!

Arredondar o resultado para 14 ou 16, mas a divisão é exata.

Passo 5 — Dividir o lado vertical pelo lado do quadrado

Analogamente, para saber quantos quadrados cabem na vertical, dividimos a altura pelo lado do quadrado.

Por que esta fórmula: Mesma lógica do passo anterior: número de quadrados = dimensão ÷ lado.

70,2÷5,4=1370{,}2 \div 5{,}4 = 13

De onde vem cada valor: 70,270{,}2 = enunciado: lado vertical · 5,45{,}4 = passo 3

70,2÷5,4=13=13 quadrados70{,}2 \div 5{,}4 = 13 = \boxed{13\ \text{quadrados}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem das divisões, mas ambas são independentes.

Passo 6 — Multiplicar os números de quadrados

O total de quadrados é o produto do número de quadrados na horizontal pelo número na vertical, pois cada linha horizontal tem 15 quadrados e há 13 linhas.

Por que esta fórmula: A área do retângulo é dividida em quadrados; o número total é a multiplicação das quantidades em cada direção.

15×13=19515 \times 13 = 195

De onde vem cada valor: 1515 = passo 4 · 1313 = passo 5

15×13=195=195 quadrados15 \times 13 = 195 = \boxed{195\ \text{quadrados}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar em vez de multiplicar, obtendo 28, que não é o total.

Resposta: 195 quadrados (alternativa A)

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