Questão de Estatística — Modelos lineares — FGV 2023

Regressão linear simples: coeficiente de determinação e interpretação

Gabarito: letra B. A afirmativa II está correta, pois um coeficiente de correlação amostral de 0,9 indica um forte ajuste do modelo. A afirmativa I está incorreta, pois o coeficiente de determinação ($R^2$) é igual a $0,9^2 = 0,81$, ou seja, 81% da variação total é explicada pela regressão, valor superior a 60%. A afirmativa III está incorreta, pois o intercepto ($\alpha = 3,4$) não indica a relação entre as variáveis; quem indica isso é o coeficiente angular ($\beta = 0,5$).

O coeficiente de determinação ($R^2$) é uma medida que indica a proporção da variabilidade da variável dependente (Y) que é explicada pela variável independente (X) no modelo de regressão. Em uma regressão linear simples, o $R^2$ é igual ao quadrado do coeficiente de correlação linear de Pearson ($r$). Assim, com $r = 0,9$, temos $R^2 = 0,9^2 = 0,81$, o que significa que 81% da variação total de Y é explicada pela regressão. Esse valor é considerado alto, indicando um bom ajuste do modelo aos dados.

A interpretação dos coeficientes da reta de regressão é um ponto crucial. O coeficiente angular ($\beta$) representa a variação esperada em Y para cada aumento de uma unidade em X. Já o intercepto ($\alpha$) representa o valor esperado de Y quando X é igual a zero. Portanto, a afirmativa III, ao atribuir ao intercepto a capacidade de indicar a relação entre as variáveis, comete um erro conceitual.

Item I — ❌ Incorreto

A afirmativa diz que a porcentagem da variação total explicada pela regressão é menor que 60%. Isso é falso, pois o coeficiente de determinação é $R^2 = 0,81$, ou seja, 81% da variação é explicada, um valor bem acima de 60%. O erro aqui é não calcular o $R^2$ como o quadrado do coeficiente de correlação.

Item II — ✅ Correto

A afirmativa diz que a reta de regressão obtida ajusta bem o modelo. Isso é verdadeiro, pois um coeficiente de correlação de 0,9 (ou um $R^2$ de 0,81) indica uma forte relação linear entre as variáveis, o que sugere um bom ajuste do modelo aos dados.

Item III — ❌ Incorreto

A afirmativa diz que o intercepto $\alpha = 3,4$ mostra que a valores grandes de x correspondem valores grandes de y. Isso é falso, pois quem indica a relação entre as variáveis é o coeficiente angular ($\beta = 0,5$), que é positivo, indicando uma relação direta. O intercepto apenas representa o valor de Y quando X é zero, não tendo relação com a direção da associação.

Gabarito: letra B — apenas a afirmativa II está correta.