Estatística · FGV · 2023 | Questão sqc-fg067775

Intervalo de confiança para a média com variância conhecida

Gabarito: letra A. O intervalo de 95% de confiança para a média é dado por $\bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ , com $z = 1{,}96$ , $\bar{x} = 44{,}65$ , $\sigma = 10$ (pois a variância é 100) e $n = 64$ . O erro máximo é $1{,}96 \times \frac{10}{8} = 2{,}45$ , resultando no intervalo $(42{,}2;\,47{,}1)$ .

O intervalo de confiança é uma estimativa intervalar do parâmetro populacional $\mu$ construída a partir da média amostral $\bar{x}$ . Como a variância populacional é conhecida ( $\sigma^2 = 100$ ) e a população é normalmente distribuída, a média amostral também tem distribuição normal, e o intervalo é calculado com o quantil da normal padrão $z = 1{,}96$ para 95% de confiança. A fórmula é:

IC = \bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}

Substituindo os valores:

$\bar{x} = 44{,}65$
$z = 1{,}96$
$\sigma = \sqrt{100} = 10$
$n = 64$ , logo $\sqrt{n} = 8$

O erro máximo é:

E = 1{,}96 \times \frac{10}{8} = 1{,}96 \times 1{,}25 = 2{,}45

Portanto, o intervalo é:

(44{,}65 - 2{,}45;\, 44{,}65 + 2{,}45) = (42{,}20;\, 47{,}10)

A interpretação correta do intervalo de confiança é frequentista: se repetíssemos o processo de amostragem muitas vezes, aproximadamente 95% dos intervalos construídos conteriam o verdadeiro valor de $\mu$ . Não é correto dizer que a probabilidade de $\mu$ pertencer ao intervalo é 95% — $\mu$ é fixo, e o intervalo é que é aleatório.

A pegadinha clássica da banca é trocar a variância pelo desvio padrão ou errar a divisão por $\sqrt{n}$ . Aqui, a variância é 100, então o desvio padrão é 10, e $\sqrt{64} = 8$ . Quem usa $\sigma = 100$ ou divide por 64 em vez de 8 cai nos distratores.

Caso	Cálculo do erro (E = z × σ/√n)	Intervalo obtido	Resultado
A (correta)	1,96 × 10/8 = 2,45	44,65 ± 2,45 = (42,2; 47,1)	✅ Consistente
B	1,96 × 10/8 = 3,45 (erro: z ≈ 2,76)	44,65 ± 3,45 = (41,2; 48,1)	❌ Inviável
C	1,96 × 10/8 = 4,45 (erro: z ≈ 3,56)	44,65 ± 4,45 = (40,2; 49,1)	❌ Inviável
D	1,96 × 10/8 = 5,45 (erro: z ≈ 4,36)	44,65 ± 5,45 = (39,2; 50,1)	❌ Inviável
E	1,96 × 10/8 = 6,45 (erro: z ≈ 5,16)	44,65 ± 6,45 = (38,2; 51,1)	❌ Inviável

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a fórmula com os valores corretos, obtemos exatamente o intervalo $(42{,}2;\, 47{,}1)$ . O erro máximo é $2{,}45$ , e os limites são $44{,}65 \pm 2{,}45$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo $(41{,}2;\, 48{,}1)$ tem erro máximo de $3{,}45$ . Esse valor corresponderia a usar $z \approx 2{,}76$ (ou um erro de cálculo na divisão), mas o quantil correto para 95% é $1{,}96$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

O intervalo $(40{,}2;\, 49{,}1)$ tem erro máximo de $4{,}45$ . Esse erro seria obtido se $z \approx 3{,}56$ , o que não corresponde a 95% de confiança.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo $(39{,}2;\, 50{,}1)$ tem erro máximo de $5{,}45$ . Esse valor não tem relação com os dados fornecidos; seria o resultado de usar um quantil muito maior que $1{,}96$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

O intervalo $(38{,}2;\, 51{,}1)$ tem erro máximo de $6{,}45$ . Esse erro seria obtido se $z \approx 5{,}16$ , completamente fora do valor crítico para 95%.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de intervalo de confiança, identifique primeiro se a variância é conhecida (usa-se $z$ ) ou desconhecida (usa-se $t$ ). Depois, calcule o erro máximo $E = z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ e some/subtraia da média amostral. Confira sempre se você usou o desvio padrão (raiz da variância) e a raiz do tamanho da amostra.

Gabarito: letra A.