Questão de Raciocínio Lógico — Problemas Lógicos — FGV 2023

Problema de decisão financeira: à vista × a prazo com juros

Gabarito: letra D (30 mil reais). Para que a opção a prazo seja preferível, o valor presente das saídas de caixa do financiamento deve ser menor que o valor presente da compra à vista, considerando que Lionel pode aplicar seu dinheiro a 50% ao ano. A entrada máxima que mantém a opção a prazo vantajosa é de 30 mil reais.

O problema envolve comparar duas alternativas de pagamento sob a ótica do valor do dinheiro no tempo. Lionel tem 150 mil reais aplicados a 50% ao ano. Se pagar à vista, desembolsa 80 mil hoje, ficando com 70 mil aplicados. Se pagar a prazo, paga uma entrada hoje e duas prestações iguais daqui a 1 e 2 anos. Para decidir, devemos trazer todos os fluxos a valor presente, usando a taxa de 50% ao ano.

A compra à vista custa 80 mil hoje. A compra a prazo custa uma entrada $E$ hoje, mais duas prestações $P$ daqui a 1 e 2 anos. O valor presente das prestações é $\frac{P}{1,5} + \frac{P}{1,5^2}$. O total a prazo é 120 mil, então $E + 2P = 120$. Para que a prazo seja preferível, o valor presente do fluxo a prazo deve ser menor que 80 mil:

Substituindo $P = \frac{120 - E}{2}$:

Multiplicando tudo por 9 para simplificar:

Portanto, a entrada deve ser menor que 30 mil reais. Como as alternativas são valores inteiros, o valor máximo que ainda torna a prazo preferível é 30 mil reais (na verdade, o limite é 30; valores menores que 30 funcionam, e 30 é o maior valor inteiro que satisfaz a condição de preferência estrita, pois para $E = 30$ o valor presente é exatamente 80, tornando as opções indiferentes; mas a banca considera 30 como o máximo, pois é o maior valor que não torna a prazo pior).

Alternativa A — ❌ Incorreta

60 mil reais. Se a entrada fosse 60 mil, as prestações seriam de 30 mil cada. O valor presente seria $60 + \frac{30}{1,5} + \frac{30}{2,25} = 60 + 20 + 13,33 = 93,33$ mil, maior que 80 mil. A prazo seria pior que à vista.

Alternativa B — ❌ Incorreta

50 mil reais. Com entrada de 50 mil, as prestações seriam de 35 mil cada. O valor presente seria $50 + \frac{35}{1,5} + \frac{35}{2,25} = 50 + 23,33 + 15,56 = 88,89$ mil, ainda maior que 80 mil.

Alternativa C — ❌ Incorreta

40 mil reais. Com entrada de 40 mil, as prestações seriam de 40 mil cada. O valor presente seria $40 + \frac{40}{1,5} + \frac{40}{2,25} = 40 + 26,67 + 17,78 = 84,44$ mil, maior que 80 mil.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

30 mil reais. Com entrada de 30 mil, as prestações seriam de 45 mil cada. O valor presente seria $30 + \frac{45}{1,5} + \frac{45}{2,25} = 30 + 30 + 20 = 80$ mil, exatamente igual ao valor à vista. Para que a prazo seja preferível (estritamente melhor), a entrada deveria ser menor que 30 mil. Como a questão pede o valor máximo, e 30 é o limite em que há indiferença, a banca considera 30 como o valor máximo que ainda não torna a prazo pior (na prática, valores menores que 30 tornam a prazo melhor). Portanto, 30 é a resposta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

20 mil reais. Com entrada de 20 mil, as prestações seriam de 50 mil cada. O valor presente seria $20 + \frac{50}{1,5} + \frac{50}{2,25} = 20 + 33,33 + 22,22 = 75,56$ mil, menor que 80 mil. Isso tornaria a prazo preferível, mas não é o máximo valor de entrada que ainda mantém a preferência — valores maiores, como 30, também funcionam (ou são indiferentes).

Gabarito: letra D