Questão de Economia — Microeconomia — FGV 2023

Teoria dos Jogos – Equilíbrio de Nash

Gabarito: Alternativa A (0,0). O único equilíbrio de Nash ocorre quando ambos os jogadores escolhem zero, pois cada jogador vence se seu número for igual à metade da média dos dois. A condição de vitória é $a = \frac{a+b}{4}$ para o jogador 1, e $b = \frac{a+b}{4}$ para o jogador 2. Resolvendo, obtém-se a melhor resposta de cada jogador: $a = b/3$ e $b = a/3$. O único par que satisfaz ambas é $(0,0)$.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

No ponto (0,0), a metade da média é $\frac{0+0}{4}=0$, portanto ambos os jogadores vencem. Nenhum jogador tem incentivo para desviar: se o jogador 1 escolhesse um número diferente, deixaria de vencer e obteria payoff menor (derrota). O mesmo vale para o jogador 2. Assim, (0,0) é o único equilíbrio de Nash do jogo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Em (50,50), a metade da média é $\frac{50+50}{4}=25$, que é diferente de 50, logo nenhum jogador vence. Além disso, qualquer jogador pode desviar para $\frac{\text{número do oponente}}{3}$ e vencer (exemplo: jogador 1 escolhe $50/3 \approx 16,67$ e vence). Portanto, (50,50) não é equilíbrio de Nash.

Alternativa C — ❌ Incorreta

No par (25,50), a metade da média é $\frac{25+50}{4}=18,75$. Nenhum dos números coincide com 18,75, então ninguém vence. O jogador 1 pode desviar para $50/3 \approx 16,67$ e vencer (ou para $25/3$? Mas a melhor resposta dele é $b/3 = 50/3$). Logo, não é equilíbrio.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Similar à anterior, (50,25): metade da média = $\frac{50+25}{4}=18,75$. Nenhum jogador vence. O jogador 2 pode desviar para $50/3 \approx 16,67$ e vencer. Não é equilíbrio.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Em (100,100), a metade da média é $\frac{100+100}{4}=50$, diferente de 100. Nenhum vence. Qualquer jogador pode desviar para $100/3 \approx 33,33$ e vencer. Portanto, não é equilíbrio.

Gabarito: letra A.