Questão de Estatística — Conhecimentos de estatística — FGV 2023

Coeficiente de determinação (R²) na regressão linear simples

Gabarito: letra D. O coeficiente de determinação é o quadrado do coeficiente de correlação amostral: $R^2 = r^2$. Com $r = 0{,}756$, temos $R^2 = 0{,}756^2 \approx 0{,}5715$, que arredondado para duas casas decimais é 0,57 — exatamente a alternativa D.

O coeficiente de determinação ($R^2$) mede a proporção da variabilidade total da variável dependente (Y) que é explicada pela variável independente (X) no modelo de regressão. Ele varia de 0 a 1: quanto mais próximo de 1, melhor o ajuste do modelo aos dados. Na regressão linear simples, existe uma relação direta entre o coeficiente de correlação de Pearson ($r$) e o $R^2$: o $R^2$ é simplesmente o quadrado de $r$. Isso decorre do fato de que, na regressão simples, a soma dos quadrados do modelo ($SQM$) é igual a $r^2 \times SQT$, onde $SQT$ é a soma total dos quadrados. Assim, $R^2 = SQM/SQT = r^2$.

A pegadinha clássica desta questão é o candidato esquecer de elevar ao quadrado e marcar o próprio valor da correlação (0,756), que não aparece nas alternativas, ou então errar o cálculo mental. Outra confusão comum é inverter a operação: tirar a raiz quadrada em vez de elevar ao quadrado. Aqui, como o enunciado já fornece a correlação, basta elevar ao quadrado — não há necessidade de calcular somas de quadrados.

Alternativa A — ❌ Incorreta

0,48. Este valor seria obtido se o aluno calculasse $0{,}756^2$ de forma imprecisa (por exemplo, $0{,}75^2 = 0{,}5625$, que é próximo, mas não exato) ou se arredondasse incorretamente. O cálculo correto é $0{,}756^2 = 0{,}571536$, que arredonda para 0,57, não 0,48.

Alternativa B — ❌ Incorreta

0,51. Este valor não corresponde a nenhuma operação direta com 0,756. Pode ser um distrator para quem tenta aproximar $0{,}756^2$ por $0{,}7^2 = 0{,}49$ e depois soma algo, ou simplesmente um número aleatório. O valor exato é 0,5715, portanto 0,51 está abaixo do correto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

0,54. Este valor é próximo do correto, mas ainda inferior. Pode surgir de um arredondamento grosseiro de $0{,}756^2$ (por exemplo, $0{,}75^2 = 0{,}5625$, que arredondado para baixo daria 0,56, não 0,54). O cálculo exato é 0,5715, que arredonda para 0,57.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

0,57. O coeficiente de determinação é $R^2 = r^2 = 0{,}756^2$. Calculando: $0{,}756 \times 0{,}756 = 0{,}571536$. Arredondando para duas casas decimais, obtemos 0,57. Este é o valor que representa a proporção da variabilidade de Y explicada por X no modelo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

0,60. Este valor é um distrator comum, pois é um número "redondo" próximo do correto. Pode ser obtido se o aluno arredondar $0{,}756$ para $0{,}8$ e depois elevar ao quadrado: $0{,}8^2 = 0{,}64$, ou se simplesmente chutar um valor próximo. O cálculo exato é 0,5715, que não arredonda para 0,60.

Gabarito: letra D.