Estatística · FGV · 2023 | Questão sqc-fg067927

Distribuição Binomial: probabilidade de "mais de um" sucesso

Gabarito: letra D. A probabilidade de que mais de uma pessoa tenha a característica C é 0,6875. Isso porque, com 4 seleções independentes (com reposição) e probabilidade de sucesso p = 0,5, o evento "mais de um" é o complementar de "zero ou um" sucesso, e $P(X \leq 1) = 0,3125$ , logo $P(X > 1) = 1 - 0,3125 = 0,6875$ .

A questão envolve o modelo Binomial, que se aplica quando temos $n$ tentativas independentes, cada uma com dois resultados possíveis (sucesso/fracasso) e probabilidade de sucesso constante $p$ . Aqui, $n = 4$ (pessoas selecionadas), $p = 0,5$ (probabilidade de ter a característica C) e $q = 1 - p = 0,5$ . A seleção com reposição garante a independência entre as tentativas, condição essencial para o modelo Binomial.

A função de probabilidade Binomial é dada por:

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}

onde $X$ é o número de pessoas com a característica C entre as 4 selecionadas. Queremos $P(X > 1)$ , ou seja, $P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$ . Calcular diretamente essas três probabilidades é trabalhoso; o caminho mais eficiente é usar o complementar:

P(X > 1) = 1 - P(X \leq 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]

Vamos calcular cada termo:

$P(X = 0) = \binom{4}{0} (0,5)^0 (0,5)^4 = 1 \times 1 \times 0,0625 = 0,0625$
$P(X = 1) = \binom{4}{1} (0,5)^1 (0,5)^3 = 4 \times 0,5 \times 0,125 = 0,25$

Somando: $P(X \leq 1) = 0,0625 + 0,25 = 0,3125$ .

Portanto:

P(X > 1) = 1 - 0,3125 = 0,6875

A alternativa D é a correta.

Distribuição de sucessos em 4 tentativas — só Sucesso: 0,0625; só Fracasso: 0,0625; Sucesso∩Fracasso: 0,25

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 0,3125 corresponde a $P(X \leq 1)$ , ou seja, a probabilidade de que no máximo uma pessoa tenha a característica C. A banca inverteu o evento pedido: em vez de "mais de um", usou "no máximo um".

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 0,3650 não corresponde a nenhuma probabilidade relevante do modelo Binomial com $n=4$ e $p=0,5$ . É um distrator numérico sem fundamento teórico.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 0,4245 também não corresponde a nenhuma combinação das probabilidades binomiais com $n=4$ e $p=0,5$ . É um distrator puramente numérico.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $P(X > 1) = 1 - P(X \leq 1) = 1 - 0,3125 = 0,6875$ . O cálculo pelo complementar é o método mais rápido e evita erros de soma de três probabilidades.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 0,7225 não corresponde a nenhuma probabilidade do modelo Binomial com $n=4$ e $p=0,5$ . É outro distrator numérico.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre "mais de um" e "no máximo um". O candidato apressado calcula $P(X \leq 1) = 0,3125$ e marca a letra A, esquecendo que o enunciado pede o complementar. Sempre leia com atenção: "mais de um" = $X > 1$ ; "no máximo um" = $X \leq 1$ ; "pelo menos um" = $X \geq 1$ .

PEGA ESSA DICA!

Em questões de distribuição Binomial, quando o evento pedido for "mais de k" ou "pelo menos k", use o complementar: $P(X > k) = 1 - P(X \leq k)$ . Isso reduz o número de cálculos e minimiza erros. Memorize também os valores binomiais para $p = 0,5$ : com $n=4$ , as probabilidades são 0,0625; 0,25; 0,375; 0,25; 0,0625 para $k = 0, 1, 2, 3, 4$ .

Gabarito: letra D