Questão de Matemática — Função de 2º Grau ou Função Quadrática e Inequações — FGV 2023

Função quadrática e valor extremo em domínio restrito

Gabarito: letra D. Como o coeficiente $a = 2 > 0$, a parábola tem concavidade para cima e o vértice é o ponto de mínimo da função. O vértice ocorre em $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2\cdot 2} = -\frac{3}{2}$, que não pertence ao domínio $D = (-1, 2]$. Portanto, o valor extremo da função no domínio restrito ocorre em um dos extremos do intervalo: como a função é crescente para $x > x_v$, o máximo é atingido em $x = 2$, valendo $f(2) = 2\cdot 2^2 + 6\cdot 2 - 4 = 16$.

A função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ tem como gráfico uma parábola. O coeficiente $a$ decide a concavidade: se $a > 0$, a parábola abre para cima e o vértice é o ponto de mínimo; se $a < 0$, abre para baixo e o vértice é o ponto de máximo. O vértice tem abscissa $x_v = -\frac{b}{2a}$ e ordenada $y_v = f(x_v) = -\frac{\Delta}{4a}$, onde $\Delta = b^2 - 4ac$.

Quando o domínio é todo o conjunto dos reais, o valor extremo é exatamente o do vértice. Mas quando o domínio é um intervalo restrito, como $D = (-1, 2]$, o vértice pode ficar fora desse intervalo. Nesse caso, o valor máximo ou mínimo da função no domínio não é o do vértice, mas sim o valor da função em um dos extremos do intervalo (ou em um ponto crítico interno, se houver).

Aqui, $x_v = -1,5$ está fora de $D = (-1, 2]$. Como $a > 0$, a função é decrescente para $x < x_v$ e crescente para $x > x_v$. Todos os valores de $x$ no domínio são maiores que $-1$, ou seja, estão à direita do vértice. Logo, a função é crescente em todo o domínio. Isso significa que o menor valor ocorre no extremo esquerdo (que não é atingido, pois $-1$ não pertence ao domínio) e o maior valor ocorre no extremo direito, $x = 2$.

Vamos calcular os valores nos extremos e no vértice para confirmar:

• $f(-1) = 2(-1)^2 + 6(-1) - 4 = 2 - 6 - 4 = -8$ (mas $-1$ não pertence ao domínio)

• $f(2) = 2(2)^2 + 6(2) - 4 = 8 + 12 - 4 = 16$

• $f(x_v) = f(-1,5) = 2(-1,5)^2 + 6(-1,5) - 4 = 4,5 - 9 - 4 = -8,5 = -\frac{17}{2}$

Portanto, o valor máximo da função no domínio é 16, atingido em $x = 2$. O valor mínimo global é $-\frac{17}{2}$, mas ele não é atingido no domínio, pois o vértice está fora dele. O valor $-8$ é o limite inferior (não atingido) da imagem, pois $-1$ não pertence ao domínio.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o valor mínimo é $-\frac{17}{2}$. Esse é o valor do vértice, que é o mínimo global da função, mas o vértice está em $x = -1,5$, que não pertence ao domínio $D = (-1, 2]$. Como o domínio é restrito, o mínimo no domínio não é o do vértice. Na verdade, a função é crescente no domínio, então o menor valor seria em $x$ tendendo a $-1$ (que não é atingido), e o valor $-\frac{17}{2}$ não é atingido em nenhum ponto do domínio.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o valor mínimo é $-8$. Esse é o valor de $f(-1)$, mas $-1$ não pertence ao domínio (o intervalo é aberto à esquerda: $-1 < x$). Portanto, $-8$ não é atingido pela função no domínio. O valor mínimo no domínio não existe, pois a função é crescente e o extremo esquerdo é aberto; o ínfimo é $-8$, mas não é mínimo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o valor máximo é $-\frac{17}{2}$. Isso é um erro duplo: primeiro, $-\frac{17}{2}$ é o valor do vértice, que é um mínimo (pois $a > 0$), não um máximo. Segundo, o vértice está fora do domínio, então esse valor não é atingido. O máximo no domínio é atingido em $x = 2$ e vale $16$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que o valor máximo é $16$. De fato, como a função é crescente no domínio (pois todos os $x$ estão à direita do vértice), o maior valor ocorre no extremo direito do intervalo, $x = 2$. Calculando: $f(2) = 2\cdot 2^2 + 6\cdot 2 - 4 = 8 + 12 - 4 = 16$. Portanto, o valor máximo da função no domínio é $16$.

Gabarito: letra D