GabaritoB — 3600.
Gabarito: letra B — a conta chega a 3600 (alternativa B).
Em análise combinatória, permutações com restrição de não deixar certos elementos juntos são resolvidas por um método de 'separação': primeiro organizamos os elementos que podem ficar juntos (aqui, as consoantes) e depois encaixamos os elementos restritos (as vogais) nos espaços entre eles. O número de espaços disponíveis é sempre o número de elementos já dispostos mais um, pois há um espaço antes do primeiro, entre cada par e depois do último. A escolha dos espaços é uma combinação, pois a ordem dos espaços não importa, mas a ordem das vogais dentro deles importa, então multiplicamos pela permutação das vogais. Nesta questão, temos 5 consoantes e 2 vogais; o passo crítico é contar corretamente os 6 espaços e não esquecer de permutar as vogais entre si.
sigla SEDUCMG
7 letras no total
2 vogais (E, U)
5 consoantes (S, D, C, M, G)
O que queremos: o número de permutações das letras de SEDUCMG em que não há duas vogais juntas
Para garantir que as vogais fiquem separadas, primeiro organizamos as consoantes, que não têm restrição. Isso cria uma base onde depois encaixaremos as vogais nos espaços.
Por que esta fórmula: Como as 5 consoantes são todas distintas, o número de maneiras de ordená-las é a permutação de 5 elementos: 5!.
De onde vem cada valor: = enunciado: 5 consoantes (S, D, C, M, G)
Confundir com 4! se achar que são 4 consoantes; são 5.
Com as 5 consoantes dispostas, formam-se 6 espaços onde as vogais podem ser colocadas sem ficarem juntas: antes da primeira, entre cada par e depois da última. Precisamos desse número para escolher onde colocar as vogais.
Por que esta fórmula: O número de espaços é sempre o número de consoantes mais um, pois há um espaço extra no início e no fim.
De onde vem cada valor: = passo 1: 5 consoantes
Contar apenas 5 espaços (um após cada consoante), esquecendo do espaço antes da primeira.
Para que as vogais não fiquem juntas, cada uma deve ocupar um espaço diferente. Como temos 6 espaços e 2 vogais, precisamos escolher 2 desses espaços.
Por que esta fórmula: A ordem dos espaços escolhidos não importa (colocar a vogal no espaço 1 e depois no 3 é o mesmo que no 3 e depois no 1), então usamos combinação: C(6,2).
De onde vem cada valor: = passo 2: 6 espaços · = enunciado: 2 vogais
Usar arranjo A(6,2) em vez de combinação, o que daria 30 e depois multiplicar por 2! resultando em 7200.
Depois de escolher os espaços, as duas vogais (E e U) podem ser ordenadas de maneiras diferentes dentro deles. Como são letras distintas, a ordem importa.
Por que esta fórmula: As 2 vogais são distintas, então o número de ordenações é a permutação de 2 elementos: 2!.
De onde vem cada valor: = enunciado: 2 vogais (E, U)
Esquecer de permutar as vogais, tratando-as como idênticas, o que reduziria o resultado pela metade.
Cada etapa é independente: a ordem das consoantes, a escolha dos espaços e a ordem das vogais. Pelo princípio multiplicativo, o total é o produto dessas quantidades.
Por que esta fórmula: O princípio fundamental da contagem diz que, se uma escolha pode ser feita de a maneiras, outra de b maneiras, etc., o total é a × b × ...
De onde vem cada valor: = passo 1: 120 · = passo 3: 15 · = passo 4: 2
Multiplicar apenas 120 × 15 = 1800, esquecendo do fator 2 das vogais.
Resposta: 3600 (alternativa B)
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