Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg069267

Posição relativa entre reta e circunferência

Gabarito: letra D — a distância do centro da circunferência à reta é maior que o raio ( $D > R$ ), o que caracteriza uma reta exterior à circunferência. Para chegar a isso, completamos quadrados na equação da circunferência para achar centro e raio, e aplicamos a fórmula da distância de ponto a reta.

Passo a passo

1. Encontrar o centro e o raio da circunferência

A equação dada é $x^2 + y^2 - 4x + 2y = 0$ . Para identificar o centro $(x_0, y_0)$ e o raio $R$ , completamos quadrados:

Em $x$ : $x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$
Em $y$ : $y^2 + 2y = (y+1)^2 - 1$

Substituindo na equação:

(x-2)^2 - 4 + (y+1)^2 - 1 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 + (y+1)^2 = 5

Portanto, o centro é $C(2, -1)$ e o raio é $R = \sqrt{5}$ .

2. Calcular a distância do centro à reta

A reta é $x + y - 5 = 0$ . A distância de um ponto $(x_0, y_0)$ a uma reta $ax + by + c = 0$ é dada por:

D = \frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Substituindo $a=1$ , $b=1$ , $c=-5$ e o ponto $(2, -1)$ :

D = \frac{|1\cdot 2 + 1\cdot (-1) - 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 - 1 - 5|}{\sqrt{2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}

3. Comparar $D$ e $R$

Temos $D = 2\sqrt{2} \approx 2,83$ e $R = \sqrt{5} \approx 2,24$ . Logo, $D > R$ .

Interpretação geométrica

Quando a distância do centro à reta é maior que o raio, a reta não toca a circunferência — é uma reta exterior. Se $D = R$ , a reta é tangente; se $D < R$ , a reta é secante. Essa comparação é a chave para classificar a posição relativa entre reta e circunferência.

Análise das alternativas

Caso	Comparação	Resultado
D = 0	D = 0, R = √5	Falso (D ≠ 0)
D < R	2√2 < √5	Falso (2√2 ≈ 2,83 > √5 ≈ 2,24)
D = R	2√2 = √5	Falso (2√2 ≠ √5)
D > R	2√2 > √5	Verdadeiro (8 > 5)

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $D = 0$ , o que significaria que o centro da circunferência pertence à reta. Isso não ocorre, pois $D = 2\sqrt{2} \neq 0$ . A distância zero só aconteceria se o ponto estivesse sobre a reta, o que não é o caso aqui.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $D \neq 0$ e $D < R$ . Embora $D \neq 0$ seja verdadeiro, a comparação com o raio está errada: $D = 2\sqrt{2} \approx 2,83$ é maior que $R = \sqrt{5} \approx 2,24$ . Portanto, $D > R$ , não $D < R$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $D = R$ . Isso caracterizaria uma reta tangente à circunferência, mas os valores não são iguais: $D = 2\sqrt{2}$ e $R = \sqrt{5}$ . Como $2\sqrt{2} \neq \sqrt{5}$ , a igualdade não se verifica.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que $D > R$ . De fato, $D = 2\sqrt{2} \approx 2,83$ e $R = \sqrt{5} \approx 2,24$ , logo $D > R$ . Isso indica que a reta é exterior à circunferência, ou seja, não a intercepta em nenhum ponto.

NÃO CAIA NESSA!

A banca pode induzir o candidato a comparar os valores sem racionalizar, mas o ponto crucial é perceber que $2\sqrt{2} > \sqrt{5}$ . Uma dica: eleve ambos ao quadrado para comparar sem aproximação — $(2\sqrt{2})^2 = 8$ e $(\sqrt{5})^2 = 5$ , logo $8 > 5$ . Isso confirma $D > R$ sem depender de aproximações.

Gabarito: letra D