Questão de Matemática — Matrizes — FGV 2023

Operações com matrizes: propriedades e pegadinhas

Gabarito: letra B. A alternativa B é a única que expressa corretamente a propriedade distributiva da multiplicação de matrizes em relação à adição: $(A+B)C = AC + BC$. As demais alternativas contêm erros clássicos: a letra A inverte a ordem dos fatores (a multiplicação de matrizes não é comutativa), e as letras C e D afirmam que o produto nulo ou a potência nula implicam matriz nula, o que é falso para matrizes.

A questão cobra as propriedades da multiplicação de matrizes, um tema central em álgebra linear. Diferentemente dos números reais, a multiplicação de matrizes não é comutativa: em geral, $AB \neq BA$. Isso invalida qualquer fatoração que troque a ordem dos fatores. Além disso, o produto de duas matrizes não nulas pode ser a matriz nula — existem os chamados divisores de zero no anel das matrizes. Vamos analisar cada alternativa com cuidado.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A expressão $AB + BC = B(A + C)$ parece uma fatoração válida, mas está errada porque a multiplicação de matrizes não é comutativa. Ao colocar $B$ em evidência à esquerda, o correto seria $B(A + C) = BA + BC$, e não $AB + BC$. Para que a igualdade valesse, seria necessário que $AB = BA$, o que não é garantido para matrizes quaisquer. A banca explora exatamente a tentação de aplicar a propriedade distributiva como se fosse com números reais, ignorando a não comutatividade.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A expressão $(A+B)C = BC + AC$ é a propriedade distributiva da multiplicação à direita em relação à adição. Ela é válida para quaisquer matrizes de ordens compatíveis. O material de apoio confirma: "A multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição. Se A, B e C são matrizes com ordens convenientes (para que os produtos existam), então $(A+B)C = AC+BC$ e $C(A+B) = CA+CB$." Note que a ordem dos fatores é preservada: $A$ multiplica $C$ à direita, e $B$ multiplica $C$ à direita. É exatamente isso que a alternativa B expressa, apenas com os termos $AC$ e $BC$ somados em ordem trocada (o que é permitido, pois a adição de matrizes é comutativa).

Alternativa C — ❌ Incorreta

A afirmação "Se $AB = O$, então $A = O$ ou $B = O$" é falsa para matrizes. Existem matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula. O próprio material de apoio traz o exemplo: multiplicando $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ por $\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, obtém-se a matriz nula, mas nenhuma das duas é nula. Isso ocorre porque o anel das matrizes não é um domínio de integridade — há divisores de zero. A banca tenta induzir o aluno a aplicar a propriedade dos números reais (se $xy=0$, então $x=0$ ou $y=0$), que não vale para matrizes.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A afirmação "Se $A^2 = O$, então $A = O$" também é falsa. Uma matriz pode ter quadrado nulo sem ser nula. Por exemplo, a matriz $\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ elevada ao quadrado resulta na matriz nula, mas ela própria não é nula. Essas matrizes são chamadas de nilpotentes. A banca explora a analogia com números reais, onde $x^2 = 0$ implica $x = 0$, o que não se transfere para matrizes.

Gabarito: letra B