Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg069269

Divisibilidade de polinômios: encontrando m e n

Gabarito: letra D. Como P(x) é divisível por D(x), existe um polinômio quociente Q(x) tal que P(x) = D(x) · Q(x). Como P(x) tem grau 3 e D(x) tem grau 2, Q(x) deve ser do 1º grau, da forma ax + b. Igualando os coeficientes, obtemos um sistema que nos dá m = −21/5 e n = 1/5, logo m + n = −20/5 = −4. A alternativa correta é a letra D (−21/5).

A divisibilidade de polinômios segue o mesmo princípio da divisibilidade de números: se P(x) é divisível por D(x), o resto da divisão é zero. Isso significa que P(x) pode ser escrito como o produto de D(x) por um outro polinômio. Como o grau de P(x) é 3 e o de D(x) é 2, o quociente Q(x) tem grau 1, ou seja, Q(x) = ax + b, com a ≠ 0.

Vamos montar a igualdade:

x^3 - 4x^2 + mx - 2 = (x^2 + x + n)(ax + b)

Expandindo o produto:

(x^2 + x + n)(ax + b) = ax^3 + bx^2 + ax^2 + bx + anx + bn

Agrupando os termos de mesmo grau:

= ax^3 + (a + b)x^2 + (b + an)x + bn

Agora, igualamos os coeficientes de P(x) com os do produto:

Coeficiente de $x^3$ : $a = 1$
Coeficiente de $x^2$ : $a + b = -4$
Coeficiente de $x$ : $b + an = m$
Termo independente: $bn = -2$

Como $a = 1$ , temos $1 + b = -4$ , logo $b = -5$ .

Substituindo $b = -5$ na equação do termo independente: $-5n = -2$ , logo $n = \frac{2}{5}$ .

Agora, substituímos $b = -5$ , $a = 1$ e $n = \frac{2}{5}$ na equação do coeficiente de $x$ :

m = b + an = -5 + 1 \cdot \frac{2}{5} = -5 + \frac{2}{5} = \frac{-25 + 2}{5} = -\frac{23}{5}

Portanto, $m = -\frac{23}{5}$ e $n = \frac{2}{5}$ . A soma é:

m + n = -\frac{23}{5} + \frac{2}{5} = -\frac{21}{5}

A alternativa correta é a letra D.

Coeficiente	Equação	Valor encontrado
(x^3)	(a = 1)	(a = 1)
(x^2)	(a + b = -4)	(b = -5)
Termo independente	$(b \cdot n = -2)$	$(n = \frac{2}{5})$
(x)	$(b + a \cdot n = m)$	$(m = -\frac{23}{5})$
Soma	(m + n)	$(-\frac{21}{5})$

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1/5 não corresponde a nenhum dos coeficientes encontrados. Ele é o valor de n com sinal trocado? Não: n = 2/5. O candidato pode ter errado ao calcular n ou ao somar os valores.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor −2/5 é o oposto de n (n = 2/5). O candidato pode ter acertado n, mas errado o sinal de m, ou confundido m com n.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 19/5 é um distrator. Pode surgir de um erro de sinal na soma: se o candidato encontrasse m = 17/5 e n = 2/5, somaria 19/5. Ou de um erro na resolução do sistema.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, m = −23/5 e n = 2/5, logo m + n = −21/5. A alternativa está correta.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a pressa: muitos candidatos, ao montar o sistema, erram o sinal de b ou de n, ou somam m e n sem reduzir a fração. O passo crítico é igualar os coeficientes corretamente e resolver o sistema com atenção aos sinais. Aqui, o erro mais comum é obter n = −2/5 (invertendo o sinal) e m = −19/5, resultando em −21/5? Não, isso daria −21/5 também? Vamos ver: se n = −2/5, então m = b + an = −5 + (−2/5) = −27/5, e m + n = −29/5, que não está nas alternativas. Portanto, o distrator −21/5 é o valor correto, e os outros são frutos de erros de cálculo.

Gabarito: letra D