Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2023

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
fg069271
Banca
FGV
Órgão
SEE-MG
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica (PEB) - Matemática
Considere o conjunto A de todos os números inteiros de 1 até 2023.O número de elementos de A que não são divisíveis por 2 nem por 3 é igual a
  1. A338.
  2. B674.
  3. C675.
  4. D1348.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 675.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 675 (alternativa C).

A ideia por trás

Quando um problema pede quantos números de uma lista não têm certas propriedades, o caminho mais direto é contar quantos têm essas propriedades e subtrair do total. A ferramenta para contar elementos que pertencem a pelo menos um de dois grupos é o princípio da inclusão-exclusão: somam-se os tamanhos dos dois grupos e subtrai-se o tamanho da interseção, porque quem está nos dois foi contado duas vezes. Aqui os grupos são os múltiplos de 2 e os múltiplos de 3; a interseção são os múltiplos de 6. Depois de achar quantos são divisíveis por 2 ou por 3, basta subtrair esse número de 2023 para obter os que não são divisíveis por nenhum dos dois.

O que a questão dá

  • conjunto A = {1, 2, 3, ..., 2023}

  • total de elementos = 2023

O que queremos: quantos números de 1 a 2023 não são divisíveis por 2 nem por 3

Passo 1 — Contar os múltiplos de 2

Precisamos saber quantos números do conjunto são pares, pois eles serão excluídos. Para contar múltiplos de um número k até um limite n, usamos a divisão inteira: o maior múltiplo de k que não passa de n, dividido por k, dá a quantidade.

Por que esta fórmula: A quantidade de múltiplos de k entre 1 e n é o maior inteiro q tal que k·q ≤ n, ou seja, q = ⌊n/k⌋ (parte inteira da divisão).

q2=⌊20232⌋q_2 = \left\lfloor \frac{2023}{2} \right\rfloor

De onde vem cada valor: 20232023 = enunciado: total de elementos do conjunto A · 22 = enunciado: divisibilidade por 2

q2=⌊20232⌋=⌊1011,5⌋=1011=1011 muˊltiplosde2q_2 = \left\lfloor \frac{2023}{2} \right\rfloor = \left\lfloor 1011{,}5 \right\rfloor = 1011 = \boxed{1011\ \text{m}ú\text{ltiplos} \text{de} 2}
NÃO CAIA NESSA!

Arredondar para cima: 1011,5 vira 1012, mas o múltiplo 2024 não está no conjunto; a parte inteira é 1011.

Passo 2 — Contar os múltiplos de 3

Assim como fizemos para o 2, precisamos da quantidade de múltiplos de 3 para somar na união.

Por que esta fórmula: Mesma lógica: a quantidade de múltiplos de 3 até 2023 é a parte inteira de 2023 dividido por 3.

q3=⌊20233⌋q_3 = \left\lfloor \frac{2023}{3} \right\rfloor

De onde vem cada valor: 20232023 = enunciado: total de elementos do conjunto A · 33 = enunciado: divisibilidade por 3

q3=⌊20233⌋=⌊674,333...⌋=674=674 muˊltiplosde3q_3 = \left\lfloor \frac{2023}{3} \right\rfloor = \left\lfloor 674{,}333... \right\rfloor = 674 = \boxed{674\ \text{m}ú\text{ltiplos} \text{de} 3}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com o valor da alternativa B, que é exatamente 674, mas isso é só a contagem dos múltiplos de 3, não a resposta final.

Passo 3 — Contar os múltiplos de 6

Os números divisíveis por 2 e por 3 ao mesmo tempo são os múltiplos de 6. Eles foram contados duas vezes (uma em cada lista), então precisamos saber quantos são para corrigir a soma.

Por que esta fórmula: Um número é divisível por 2 e por 3 se, e somente se, é divisível por 6, pois 2 e 3 são primos entre si. A contagem segue a mesma regra da divisão inteira.

q6=⌊20236⌋q_6 = \left\lfloor \frac{2023}{6} \right\rfloor

De onde vem cada valor: 20232023 = enunciado: total de elementos do conjunto A · 66 = passo 1 e passo 2: interseção dos múltiplos de 2 e 3

q6=⌊20236⌋=⌊337,166...⌋=337=337 muˊltiplosde6q_6 = \left\lfloor \frac{2023}{6} \right\rfloor = \left\lfloor 337{,}166... \right\rfloor = 337 = \boxed{337\ \text{m}ú\text{ltiplos} \text{de} 6}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de contar os múltiplos de 6, o que leva ao erro da alternativa A.

Passo 4 — Aplicar a inclusão-exclusão

Temos as contagens separadas; agora precisamos juntá-las sem contar duas vezes os números que estão nos dois grupos. O princípio da inclusão-exclusão diz: some os dois totais e subtraia a interseção.

Por que esta fórmula: A união dos múltiplos de 2 com os múltiplos de 3 tem tamanho |M2| + |M3| − |M2∩M3|, porque os elementos da interseção foram somados duas vezes e precisam ser descontados uma vez.

Ndiv=q2+q3−q6N_{div} = q_2 + q_3 - q_6

De onde vem cada valor: q2q_2 = passo 1: 1011 · q3q_3 = passo 2: 674 · q6q_6 = passo 3: 337

Ndiv=1011+674−337=1348N_{div} = 1011 + 674 - 337 = 1348

NdivN_{div} = 1348 números divisíveis por 2 ou por 3

NÃO CAIA NESSA!

Fazer 1011 + 674 sem subtrair 337, contando os múltiplos de 6 duas vezes.

Passo 5 — Subtrair do total

O que queremos são os números que NÃO são divisíveis por 2 nem por 3, ou seja, o complemento da união que calculamos. Subtraindo do total de elementos do conjunto, obtemos a resposta.

Por que esta fórmula: O conjunto A tem 2023 elementos; os que não estão na união são exatamente o total menos os que estão na união.

Nna~o=2023−NdivN_{não} = 2023 - N_{div}

De onde vem cada valor: 20232023 = enunciado: total de elementos do conjunto A · NdivN_{div} = passo 4: 1348

Nna~o=2023−1348=675N_{não} = 2023 - 1348 = 675

Nna~oN_{não} = 675 números não divisíveis por 2 nem por 3

NÃO CAIA NESSA!

Subtrair apenas os múltiplos de 2 e de 3 (2023 − 1011 − 674 = 338), esquecendo de somar de volta os múltiplos de 6 — cai na alternativa A.

Resposta: 675 (alternativa C)

Link permanente: /questoes/fg069271