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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2023

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
fg069272
Banca
FGV
Órgão
SEE-MG
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica (PEB) - Matemática
Em uma sala, 3/5 das pessoas presentes estão usando tênis e 4/7 das pessoas presentes estão vestidas com bermudas.O número mínimo de pessoas presentes nessa sala que estão usando tênis e também estão vestidas com bermudas é
  1. A6.
  2. B7.
  3. C12.
  4. D35.
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GabaritoA — 6.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 6 pessoas (alternativa A).

A ideia por trás

Quando dois grupos se sobrepõem, a soma dos tamanhos de cada grupo pode ultrapassar o total, e o excesso é exatamente a parte que pertence aos dois ao mesmo tempo. Esse é o princípio da inclusão-exclusão: para dois conjuntos, a interseção é a soma dos dois menos o total. Como o total de pessoas é desconhecido, precisamos do menor total que permita as frações dadas, ou seja, um múltiplo comum de 5 e 7. Nesta questão, o menor total é 35, e a interseção mínima é a diferença entre a soma dos grupos e esse total.

O que a questão dá

  • 3/5 das pessoas usam tênis

  • 4/7 das pessoas usam bermudas

O que queremos: o número mínimo de pessoas que usam tênis e bermudas ao mesmo tempo

Passo 1 — Encontrar o menor total de pessoas

As frações 3/5 e 4/7 só fazem sentido se o total de pessoas for divisível por 5 e por 7. O menor número que é divisível por ambos é o mínimo múltiplo comum (MMC), que garante que as quantidades de tênis e bermudas sejam números inteiros.

Por que esta fórmula: O MMC de 5 e 7 é o produto deles, pois são primos entre si.

Ntotal=5×7N_{total} = 5 \times 7

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: denominador de 3/5 · 77 = enunciado: denominador de 4/7

Ntotal=5×7=35 pessoasN_{total} = 5 \times 7 = \boxed{35\ \text{pessoas}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 5+7=12 em vez de multiplicar, o que não é múltiplo comum.

Passo 2 — Calcular quantos usam tênis

Com o total de 35 pessoas, podemos calcular quantas usam tênis, pois 3/5 de 35 é uma quantidade inteira.

Por que esta fórmula: A fração 3/5 indica a proporção do total que usa tênis; multiplicamos o total pela fração.

Ntenis=35×NtotalN_{tenis} = \frac{3}{5} \times N_{total}

De onde vem cada valor: 35\frac{3}{5} = enunciado: fração que usa tênis · NtotalN_{total} = passo 1: 35

Ntenis=35×35=21 pessoasN_{tenis} = \frac{3}{5} \times 35 = \boxed{21\ \text{pessoas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar a fração pelo total, ou usar 3/5 de 35 como 3×35/5 = 21, mas errar na conta.

Passo 3 — Calcular quantos usam bermudas

Da mesma forma, calculamos quantos usam bermudas, pois 4/7 de 35 também é inteiro.

Por que esta fórmula: A fração 4/7 indica a proporção do total que usa bermudas; multiplicamos o total pela fração.

Nbermuda=47×NtotalN_{bermuda} = \frac{4}{7} \times N_{total}

De onde vem cada valor: 47\frac{4}{7} = enunciado: fração que usa bermudas · NtotalN_{total} = passo 1: 35

Nbermuda=47×35=20 pessoasN_{bermuda} = \frac{4}{7} \times 35 = \boxed{20\ \text{pessoas}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir 4/7 com 4/5 ou errar a multiplicação.

Passo 4 — Somar os dois grupos

Se somarmos os que usam tênis e os que usam bermudas, o resultado pode ultrapassar o total, porque algumas pessoas estão contadas duas vezes (as que usam ambos). Essa soma é necessária para achar o excesso.

Por que esta fórmula: A soma dos tamanhos dos dois conjuntos é o primeiro passo do princípio da inclusão-exclusão.

S=Ntenis+NbermudaS = N_{tenis} + N_{bermuda}

De onde vem cada valor: NtenisN_{tenis} = passo 2: 21 · NbermudaN_{bermuda} = passo 3: 20

S=21+20=41 pessoasS = 21 + 20 = \boxed{41\ \text{pessoas}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a soma pode ser maior que o total, o que é esperado.

Passo 5 — Subtrair o total para achar a interseção

A diferença entre a soma dos grupos e o total é exatamente o número de pessoas que foram contadas duas vezes, ou seja, as que usam tênis e bermudas. Essa é a interseção mínima.

Por que esta fórmula: Pelo princípio da inclusão-exclusão: interseção = soma dos grupos - total.

Nambos=S−NtotalN_{ambos} = S - N_{total}

De onde vem cada valor: SS = passo 4: 41 · NtotalN_{total} = passo 1: 35

Nambos=41−35=6 pessoasN_{ambos} = 41 - 35 = \boxed{6\ \text{pessoas}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 35 - 41 = -6 e achar que não há interseção, ou confundir a ordem da subtração.

Resposta: 6 pessoas (alternativa A)

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