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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2023

MatemáticaProbabilidade
Código
fg069274
Banca
FGV
Órgão
SEE-MG
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
Professor de Educação Básica (PEB) - Matemática
Do conjunto dos números naturais de três algarismos sorteia-se um deles ao acaso.A probabilidade de que o número sorteado possua, pelo menos, um algarismo igual a 5 é igual a
  1. A26%.
  2. B28%.
  3. C30%.
  4. D32%.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 28%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 28% (alternativa B).

A ideia por trás

A probabilidade mede a chance de um evento acontecer, calculada como a razão entre os casos favoráveis e o total de casos possíveis. Quando o evento é 'pelo menos um', muitas vezes é mais fácil calcular o complementar: a probabilidade de o evento NÃO acontecer, e subtrair de 1. Aqui, o evento é 'ter pelo menos um algarismo 5', então o complementar é 'não ter nenhum algarismo 5'. Para contar quantos números de três algarismos não têm o 5, usamos o princípio multiplicativo: para cada posição (centena, dezena, unidade), contamos quantas opções existem, respeitando as restrições (a centena não pode ser 0). Multiplicamos as opções de cada posição. Nesta questão, o total de números é 900 (de 100 a 999), e o complementar é 8×9×9 = 648, então os favoráveis são 900−648 = 252, e a probabilidade é 252/900 = 28%.

O que a questão dá

  • números naturais de três algarismos: de 100 a 999

  • total de números: 900

  • condição: ter pelo menos um algarismo igual a 5

O que queremos: a probabilidade de o número sorteado ter pelo menos um algarismo 5

Passo 1 — Calcular o total de números de três algarismos

Precisamos do espaço amostral, ou seja, todos os resultados possíveis do sorteio. Os números de três algarismos vão de 100 a 999, então há 900 números. Isso é a base para calcular qualquer probabilidade.

Por que esta fórmula: O total é a diferença entre o maior e o menor número de três algarismos, mais 1, porque incluímos os extremos.

Ntotal=999−100+1N_{total} = 999 - 100 + 1

De onde vem cada valor: 999999 = enunciado: maior número de três algarismos · 100100 = enunciado: menor número de três algarismos

Ntotal=999−100+1=900 nuˊmerosN_{total} = 999 - 100 + 1 = \boxed{900\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 1, achando que são 899 números.

Passo 2 — Contar os números sem o algarismo 5

Em vez de contar diretamente os números com pelo menos um 5, contamos os que NÃO têm nenhum 5. Isso é mais fácil porque cada posição tem uma restrição simples. Usamos o princípio multiplicativo: multiplicamos as opções de cada posição.

Por que esta fórmula: Para a centena, não pode ser 0 nem 5, então há 8 opções (1,2,3,4,6,7,8,9). Para a dezena e a unidade, não pode ser 5, então há 9 opções cada (0 a 9, exceto 5). Multiplicamos porque as escolhas são independentes.

Nsem5=8×9×9N_{sem5} = 8 \times 9 \times 9

De onde vem cada valor: 88 = centena: não pode ser 0 nem 5, então 8 opções · 99 = unidade: não pode ser 5, então 9 opções

Nsem5=8×9×9=648 nuˊmerosN_{sem5} = 8 \times 9 \times 9 = \boxed{648\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 9 para a centena, esquecendo que 0 não é permitido, ou usar 8 para dezena/unidade, esquecendo que 0 é permitido.

Passo 3 — Subtrair para achar os números com pelo menos um 5

O total de números é 900, e os sem 5 são 648. Os que têm pelo menos um 5 são o restante, então subtraímos.

Por que esta fórmula: A subtração direta dá a quantidade de números que têm pelo menos um 5, porque todo número ou tem ou não tem o algarismo 5.

Ncom5=Ntotal−Nsem5N_{com5} = N_{total} - N_{sem5}

De onde vem cada valor: NtotalN_{total} = passo 1: 900 · Nsem5N_{sem5} = passo 2: 648

Ncom5=900−648=252 nuˊmerosN_{com5} = 900 - 648 = \boxed{252\ \text{n}ú\text{meros}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração, como 900−648=252, mas às vezes fazem 900−648=252, então cuidado com os cálculos.

Passo 4 — Calcular a probabilidade

A probabilidade é a razão entre os casos favoráveis (números com pelo menos um 5) e o total de casos possíveis (900). Agora temos os dois números, então dividimos.

Por que esta fórmula: Probabilidade é sempre favoráveis dividido pelo total. Aqui, favoráveis = 252, total = 900.

P=Ncom5NtotalP = \frac{N_{com5}}{N_{total}}

De onde vem cada valor: Ncom5N_{com5} = passo 3: 252 · NtotalN_{total} = passo 1: 900

P=252900P = \frac{252}{900}
0,28=28 %0{,}28 = \boxed{28\ \%}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 100 para obter a porcentagem, ou inverter a fração.

Resposta: 28% (alternativa B)

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