GabaritoA — 62 anos.
Gabarito: letra A — a conta chega a 62 anos (alternativa A).
Problemas de idade envolvem relacionar idades em diferentes momentos do tempo. A idade de uma pessoa é uma grandeza que aumenta igualmente para todos: daqui a alguns anos, todos somam a mesma quantidade; há alguns anos, todos subtraem a mesma quantidade. A unidade é o ano, e o que importa é aplicar corretamente esses deslocamentos temporais.
A relação fundamental é que, para qualquer pessoa, a idade em um momento futuro é a idade atual mais o número de anos, e a idade em um momento passado é a idade atual menos o número de anos. Assim, se hoje o pai tem P anos e o filho F anos, há 5 anos eles tinham P-5 e F-5, e daqui a 8 anos terão P+8 e F+8. As frases do enunciado estabelecem igualdades entre essas idades, formando um sistema de equações do 1º grau.
Nesta questão, precisamos montar duas equações a partir das duas afirmações do pai e resolver o sistema para encontrar P e F, para então somar. O ponto crítico é não esquecer de aplicar o deslocamento temporal nas duas idades.
idade atual do pai = P (incógnita)
idade atual do filho = F (incógnita)
há 5 anos: P - 5 = 3(F - 5)
daqui a 8 anos: P + 8 = 2(F + 8)
O que queremos: a soma das idades atuais do pai e do filho (P + F)
A primeira frase do pai fala de um momento no passado: 'há 5 anos'. Para transformar essa frase em equação, precisamos expressar as idades de ambos naquele momento. Como a idade de qualquer pessoa diminui igualmente com o tempo, subtraímos 5 anos de cada idade atual.
Por que esta fórmula: A frase 'minha idade era o triplo da que você tinha' indica uma igualdade: a idade do pai (P-5) é igual a três vezes a idade do filho (F-5). Por isso usamos P - 5 = 3(F - 5).
De onde vem cada valor: = enunciado: idade atual do pai (incógnita) · = enunciado: idade atual do filho (incógnita) · = enunciado: 'há 5 anos' · = enunciado: 'o triplo'
Esquecer de subtrair 5 na idade do filho, escrevendo P - 5 = 3F, o que leva a um sistema errado.
A segunda frase fala de um momento no futuro: 'daqui a 8 anos'. Assim como no passado, precisamos ajustar as duas idades, agora somando 8 anos a cada uma, porque no futuro todos envelhecem igualmente.
Por que esta fórmula: A frase 'minha idade será o dobro da que você terá' indica que a idade do pai (P+8) será igual a duas vezes a idade do filho (F+8). Por isso usamos P + 8 = 2(F + 8).
De onde vem cada valor: = enunciado: idade atual do pai (incógnita) · = enunciado: idade atual do filho (incógnita) · = enunciado: 'daqui a 8 anos' · = enunciado: 'o dobro'
Esquecer de somar 8 na idade do filho, escrevendo P + 8 = 2F, o que leva a um sistema errado.
Com as duas equações montadas, precisamos resolvê-las. Uma forma eficiente é isolar a mesma incógnita (P) nas duas equações, para depois igualar as expressões e achar F. Isso transforma o sistema em uma equação com uma só incógnita.
Por que esta fórmula: Expandindo o produto 3(F-5) e somando 5 dos dois lados, obtemos P em função de F. Essa é uma manipulação algébrica padrão para isolar uma variável.
De onde vem cada valor: = passo 1: 3 (F - 5) = 3F - 15 · = passo 1: -15 + 5 = -10
Errar a soma: -15 + 5 = -10, não -20.
Precisamos de outra expressão para P, para poder igualar com a do passo anterior. Isolamos P na segunda equação da mesma forma.
Por que esta fórmula: Expandindo 2(F+8) e subtraindo 8 dos dois lados, obtemos P em função de F.
De onde vem cada valor: = passo 2: 2 (F + 8) = 2F + 16 · = passo 2: 16 - 8 = 8
Errar a subtração: 16 - 8 = 8, não 24.
Como as duas expressões representam a mesma idade P, podemos igualá-las. Isso elimina P e nos dá uma equação apenas com F, que podemos resolver.
Por que esta fórmula: Igualar 3F - 10 e 2F + 8 é o método da comparação para resolver sistemas lineares.
De onde vem cada valor: = passo 3 · = passo 4
Esquecer de subtrair 2F dos dois lados, ou errar o sinal ao mover termos.
Agora temos uma equação do 1º grau simples. Isolando F, descobrimos a idade atual do filho.
Por que esta fórmula: Subtraindo 2F de ambos os lados e somando 10, obtemos F = 18. Isso é a resolução algébrica da equação.
De onde vem cada valor: = passo 5: 3F - 10 = 2F + 8 → 3F - 2F = 8 + 10 · = passo 5: 8 + 10 = 18
Errar a soma: 8 + 10 = 18, não 2.
Com o valor de F, substituímos em uma das expressões de P para achar a idade do pai. Usamos a expressão mais simples, P = 2F + 8.
Por que esta fórmula: Substituir o valor conhecido de F na expressão de P é o passo final para encontrar a outra incógnita.
De onde vem cada valor: = passo 4: coeficiente de F · = passo 6: F = 18 · = passo 4: termo constante
Errar a multiplicação: 2 × 18 = 36, não 38.
A pergunta pede a soma das idades atuais. Com P e F conhecidos, basta somar.
Por que esta fórmula: A soma é a operação direta pedida no enunciado.
De onde vem cada valor: = passo 7: P = 44 · = passo 6: F = 18
Errar a soma: 44 + 18 = 62, não 64.
Resposta: 62 anos (alternativa A)
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