GabaritoC — 20.
Gabarito: letra C — a conta chega a c = 20, alternativa C.
Numa equação do 2º grau, as raízes são os valores de x que zeram a expressão. Elas se relacionam com os coeficientes pelas relações de Girard: a soma das raízes é −b/a e o produto é c/a. Isso permite descobrir as raízes sem resolver a equação, apenas conhecendo os coeficientes.
Para soma fixa, o produto de dois números é máximo quando eles são os mais próximos possíveis (ou iguais). Por exemplo, com soma 10, os pares (1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5) têm produtos 9, 16, 21, 24 e 25 — o maior é com 5 e 5. Essa propriedade vem da desigualdade das médias: a média aritmética é sempre maior ou igual à geométrica, e a igualdade ocorre quando os números são iguais.
Nesta questão, a soma das raízes é fixa (9) e elas devem ser inteiras. Então precisamos listar os pares de inteiros que somam 9 e calcular o produto de cada um, escolhendo o maior.
equação: x² − 9x + c = 0
raízes são números inteiros
coeficientes: a = 1, b = −9
O que queremos: o maior valor que c pode assumir
As relações de Girard ligam as raízes aos coeficientes sem precisar resolver a equação. Para uma equação ax² + bx + c = 0, a soma das raízes é −b/a. Aqui a = 1 e b = −9, então a soma é 9. Isso nos dá uma condição fixa para as raízes.
Por que esta fórmula: É a relação de Girard para a soma: r₁ + r₂ = −b/a. Ela vale para qualquer equação do 2º grau com raízes reais.
De onde vem cada valor: = enunciado: −9 · = enunciado: 1
Esquecer o sinal de menos: −b/a = −(−9)/1 = 9, não −9.
O coeficiente c é exatamente o produto das raízes (pois a = 1). Então, para achar o maior c, precisamos maximizar o produto r₁·r₂, sabendo que a soma é fixa em 9.
Por que esta fórmula: É a relação de Girard para o produto: r₁·r₂ = c/a. Como a = 1, o produto é igual a c.
De onde vem cada valor: = enunciado: coeficiente c (incógnita) · = enunciado: 1
Confundir produto com soma: o produto é c, não −b.
Como as raízes são inteiras e somam 9, só existem alguns pares possíveis. Listá-los permite calcular o produto de cada um e comparar. Os pares com números negativos dariam produtos menores ou negativos, então focamos nos positivos.
Esquecer de considerar todos os pares, como (4,5), e parar no primeiro que encontrar.
O produto de cada par é o valor de c correspondente. Precisamos calcular todos para saber qual é o maior.
Por que esta fórmula: Multiplicação simples dos dois números do par.
De onde vem cada valor: = passo 3: primeiro número do par · = passo 3: segundo número do par
Errar a multiplicação, por exemplo, 3·6 = 18, não 16.
O maior produto entre os pares é o maior valor de c. Comparando 8, 14, 18 e 20, o maior é 20, que vem do par (4,5).
Marcar 18 (par 3 e 6) sem verificar que 4 e 5 dão produto maior.
Resposta: c = 20, alternativa C
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