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Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — FGV 2023

Matemática FinanceiraConceitos fundamentais de Matemática Financeira
Código
fg069334
Banca
FGV
Órgão
SEFAZ-MT
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
SEFAZ- MT - Fiscal de Tributos Estaduais (FTE) - Manhã
Um empréstimo será quitado em 12 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira delas um mês após a data da contratação. Se o sistema de amortização utilizado fosse o SAC, o valor da 7ª prestação corresponderia a 124% do valor amortizado por esse pagamento.Por outro lado, se o sistema utilizado fosse o francês, o valor de cada uma das prestações seria R$ 6.392,13 e a amortização proporcionada pelo pagamento da 1ª prestação seria de R$ 3.992,13.No entanto, as partes envolvidas acordaram que o sistema utilizado para a quitação desse empréstimo será o misto (SAM).Sendo assim, o valor da 1ª prestação será, aproximadamente, de
  1. AR$ 6.589,00.
  2. BR$ 6.698,00.
  3. CR$ 6.769,00.
  4. DR$ 6.896,00.
  5. ER$ 6.987,00.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — R$ 6.896,00.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Sistema de Amortização Misto (SAM)

Gabarito: letra D. A primeira prestação no SAM é a média aritmética entre as primeiras prestações do SAC e do Sistema Francês. Com os dados fornecidos, determinou-se a taxa de juros (4% a.m.) e o valor do empréstimo (R$ 60.000,00). A primeira prestação pelo SAC foi de R$ 7.400,00; pelo SF, R$ 6.392,13. A média resulta em R$ 6.896,00.

A questão fornece duas pistas: uma do SAC (relação entre a 7ª prestação e a amortização) e outra do SF (valor da prestação e amortização da 1ª). A partir delas, calculamos a taxa de juros e o capital inicial.

Passo 1: Taxa de juros pelo SAC

No SAC, a amortização é constante: A=C/12A = C/12. A 7ª prestação é P7=A+i⋅(C−6A)P_7 = A + i \cdot (C - 6A). O enunciado diz: P7=1,24⋅AP_7 = 1,24 \cdot A. Então:

A+i⋅(C−6A)=1,24A⇒i⋅(C−6A)=0,24AA + i \cdot (C - 6A) = 1,24A \Rightarrow i \cdot (C - 6A) = 0,24A

Substituindo A=C/12A = C/12:

i⋅(C−6⋅C12)=0,24⋅C12⇒i⋅C2=0,02C⇒i2=0,02⇒i=0,04=4% a.m.i \cdot \left(C - 6 \cdot \frac{C}{12}\right) = 0,24 \cdot \frac{C}{12} \Rightarrow i \cdot \frac{C}{2} = 0,02C \Rightarrow \frac{i}{2} = 0,02 \Rightarrow i = 0,04 = 4\% \text{ a.m.}

Passo 2: Valor do empréstimo pelo SF

No SF, a prestação é constante (P_{SF} = R\ 6.392,13$) e a amortização da 1ª prestação é A_1^{SF} = R\ 3.992,13$. O juro da 1ª prestação é J_1 = P - A_1 = 6.392,13 - 3.992,13 = R\ 2.400,00$. Como J1=i⋅CJ_1 = i \cdot C:

0,04⋅C=2.400⇒C=2.4000,04=R$60.000,000,04 \cdot C = 2.400 \Rightarrow C = \frac{2.400}{0,04} = R\$ 60.000,00

Passo 3: Primeira prestação no SAC

Amortização constante: A = C/12 = 60.000/12 = R\ 5.000,00$. Juro da 1ª: J_1 = i \cdot C = 0,04 \cdot 60.000 = R\ 2.400,00$. Prestação SAC: P_1^{SAC} = A + J_1 = 5.000 + 2.400 = R\ 7.400,00$.

Passo 4: Primeira prestação no SAM

O SAM calcula cada prestação como a média aritmética das prestações correspondentes no SAC e no SF:

P1SAM=P1SAC+P1SF2=7.400+6.392,132=13.792,132=R$6.896,065≈R$6.896,00P_1^{SAM} = \frac{P_1^{SAC} + P_1^{SF}}{2} = \frac{7.400 + 6.392,13}{2} = \frac{13.792,13}{2} = R\$ 6.896,065 \approx R\$ 6.896,00

O valor aproximado é R$ 6.896,00, que corresponde à alternativa D.

Gabarito: letra D.

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