Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg069351

Probabilidade de sucesso em tentativas independentes

Gabarito: letra D — a probabilidade de Marcelo acertar ao menos uma cesta em 3 tentativas é de 48,8%, que se situa entre 45% e 50%. Isso porque a chance de ele errar todas as 3 tentativas é $(4/5)^3 = 64/125 = 51,2\%$ , e a probabilidade complementar (acertar pelo menos uma) é $1 - 51,2\% = 48,8\%$ .

O problema envolve o cálculo da probabilidade de um evento complementar. Marcelo tem probabilidade de acerto de $1/5$ (20%) em cada tentativa, e as tentativas são independentes. A forma mais direta de resolver é calcular a probabilidade de ele errar todas as tentativas e subtrair de 1 (ou 100%). Essa abordagem evita somar as probabilidades de acertar exatamente 1, 2 ou 3 cestas, que é mais trabalhosa.

A probabilidade de errar uma tentativa é $1 - 1/5 = 4/5$ . Como são 3 tentativas independentes, a probabilidade de errar todas é:

P(\text{errar todas}) = \left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{64}{125} = 0,512 = 51,2\%

Portanto, a probabilidade de acertar pelo menos uma (sair vencedor) é:

P(\text{acertar pelo menos uma}) = 1 - 0,512 = 0,488 = 48,8\%

Esse valor está entre 45% e 50%, o que corresponde à alternativa D.

Probabilidade de acerto em tentativas — só Acertos: 48,8%; só Erros: 51,2%; Acertos∩Erros: 0%

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade está entre 30% e 35%. Esse valor seria obtido se alguém calculasse apenas a probabilidade de acertar na primeira tentativa (20%) e somasse algo incorretamente, ou se confundisse a probabilidade de acertar exatamente uma vez com a de acertar pelo menos uma. O cálculo correto resulta em 48,8%, bem acima desse intervalo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade está entre 35% e 40%. Esse intervalo não corresponde a nenhum cálculo direto do problema. Um erro comum seria calcular a probabilidade de acertar exatamente uma cesta: $3 \times (1/5) \times (4/5)^2 = 48/125 = 38,4\%$ , que cai nesse intervalo. No entanto, a questão pede a probabilidade de sair vencedor, ou seja, acertar pelo menos uma cesta, o que inclui acertar 1, 2 ou 3 cestas. O valor correto é 48,8%.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade está entre 40% e 45%. Esse intervalo não corresponde ao resultado correto. Um erro que levaria a esse valor seria calcular a probabilidade de acertar pelo menos uma como $1 - (4/5)^3$ de forma incorreta, ou usar uma aproximação grosseira. O cálculo exato é 48,8%.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A probabilidade de Marcelo sair vencedor é de 48,8%, que está entre 45% e 50%. O cálculo é feito pela probabilidade complementar: a chance de errar todas as 3 tentativas é $(4/5)^3 = 64/125 = 51,2\%$ , então a chance de acertar pelo menos uma é $1 - 51,2\% = 48,8\%$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a probabilidade está entre 50% e 55%. Esse valor seria obtido se alguém calculasse erroneamente a probabilidade de errar todas como $(4/5)^3 = 64/125$ e subtraísse de 1 de forma incorreta, ou se confundisse a probabilidade de acertar pelo menos uma com a de errar todas. O valor correto é 48,8%, que fica abaixo de 50%.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre "acertar exatamente uma cesta" e "acertar pelo menos uma cesta". O candidato apressado calcula $3 \times (1/5) \times (4/5)^2 = 38,4\%$ e marca a alternativa B, mas a questão pede a probabilidade de sair vencedor, que inclui acertar 1, 2 ou 3 cestas. A forma mais segura é sempre calcular a probabilidade do evento complementar (errar todas) e subtrair de 1.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de "pelo menos um", use sempre o complemento: $P(\text{pelo menos um}) = 1 - P(\text{nenhum})$ . Isso evita somar múltiplas probabilidades e reduz o risco de erro. Para fixar, lembre-se: se a probabilidade de sucesso em cada tentativa é $p$ , a probabilidade de pelo menos um sucesso em $n$ tentativas independentes é $1 - (1-p)^n$ .

Gabarito: letra D