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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2023

MatemáticaProbabilidade
Código
fg069352
Banca
FGV
Órgão
SEFAZ-MT
Ano
2023
Nível
Superior
Cargo
SEFAZ- MT - Fiscal de Tributos Estaduais (FTE) - Manhã
Jair e Luís disputam uma corrida de alpinismo, cada um escalando uma escada vertical de 1500 degraus. As duas escadas estão postas lado a lado.Em certo momento, um torcedor calcula que Luís está no degrau 968, e que Jair está no degrau 966. Ocorre que esse cálculo é impreciso e a margem de erro é de 4 degraus, para cima ou para baixo.Com essas informações, a probabilidade de que Luís esteja de fato à frente de Jair é estimada em
  1. A35/64.
  2. B43/64.
  3. C47/81.
  4. D53/81.
  5. E36/49.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 53/81.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 53/81 (alternativa D).

A ideia por trás

A probabilidade clássica mede a chance de um evento como a razão entre os casos favoráveis e o total de casos possíveis, quando todos são igualmente prováveis. Aqui, a posição real de cada atleta é incerta: ela pode ser qualquer degrau dentro de um intervalo de 9 valores inteiros (o observado mais ou menos 4). Como não há mais informação, cada posição dentro do intervalo tem a mesma chance — é uma distribuição uniforme discreta. O que a questão cobra é contar corretamente os pares (posição de Luís, posição de Jair) em que Luís está à frente, lembrando que os intervalos são diferentes (Luís parte de 968, Jair de 966), o que torna a contagem assimétrica.

O que a questão dá

  • posição observada de Luís = 968

  • posição observada de Jair = 966

  • margem de erro = 4 degraus para cima ou para baixo

O que queremos: a probabilidade de Luís estar de fato à frente de Jair

Passo 1 — Determinar os intervalos de posições possíveis

Cada atleta pode estar em qualquer degrau dentro de 4 degraus para cima ou para baixo do valor observado. Isso define o espaço de possibilidades de cada um, que é o primeiro passo para contar os casos.

Por que esta fórmula: O intervalo é [observado − 4, observado + 4], pois a margem de erro vale para os dois lados.

L∈[968−4,968+4]=[964,972]L \in [968 - 4, 968 + 4] = [964, 972]

De onde vem cada valor: 968968 = enunciado: posição observada de Luís · 44 = enunciado: margem de erro

L∈[968−4,968+4]=[964,972]=Luıˊs:964a972(9valores)L \in [968 - 4, 968 + 4] = [964, 972] = \boxed{\text{Lu}í\text{s}: 964 \text{a} 972 (9 \text{valores})}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o intervalo inclui os extremos, contando 8 valores em vez de 9.

Passo 2 — Determinar o intervalo de posições de Jair

Jair tem um valor observado diferente (966), então o intervalo dele é diferente do de Luís. Precisamos dele para contar os pares.

Por que esta fórmula: Mesma lógica: intervalo de 4 para cada lado do valor observado.

J∈[966−4,966+4]=[962,970]J \in [966 - 4, 966 + 4] = [962, 970]

De onde vem cada valor: 966966 = enunciado: posição observada de Jair · 44 = enunciado: margem de erro

J∈[966−4,966+4]=[962,970]=Jair:962a970(9valores)J \in [966 - 4, 966 + 4] = [962, 970] = \boxed{\text{Jair}: 962 \text{a} 970 (9 \text{valores})}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o mesmo intervalo de Luís para Jair, o que levaria a contagem errada.

Passo 3 — Calcular o total de pares possíveis

O espaço amostral é formado por todos os pares (posição de Luís, posição de Jair). Como cada um tem 9 possibilidades, o total é o produto.

Por que esta fórmula: Cada posição de Luís pode combinar com cada posição de Jair, então multiplicamos as quantidades.

Total=9×9=81Total = 9 \times 9 = 81

De onde vem cada valor: 99 = passo 2: quantidade de valores de Jair

Total=9×9=81=81 paresTotal = 9 \times 9 = 81 = \boxed{81\ \text{pares}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 8 × 8 = 64, esquecendo que o intervalo tem 9 valores (inclui os extremos).

Passo 4 — Contar os casos em que Luís está à frente

A probabilidade pedida é a razão entre os casos favoráveis (Luís à frente) e o total. Precisamos contar quantos pares têm L > J.

Por que esta fórmula: Para cada valor de L, contamos quantos valores de J são menores que L. Somamos essas quantidades.

Favoraˊveis=∑L=964972(quantidade de J<L)\text{Favoráveis} = \sum_{L=964}^{972} \text{(quantidade de } J < L\text{)}

De onde vem cada valor: LL = passo 1: valores de Luís · JJ = passo 2: valores de Jair

2+3+4+5+6+7+8+9+9=532 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 9 = 53

Favoraˊveis\text{Favoráveis} = 53 casos favoráveis

NÃO CAIA NESSA!

Contar apenas os pares em que L é maior que o valor observado de Jair, ou esquecer que para L = 971 e 972 todos os 9 valores de J são menores.

Passo 5 — Calcular a probabilidade

Com o total de casos e os favoráveis, a probabilidade é a divisão entre eles.

Por que esta fórmula: Probabilidade clássica: casos favoráveis divididos pelo total de casos possíveis.

P=favoraˊveistotalP = \frac{\text{favoráveis}}{\text{total}}

De onde vem cada valor: favoraˊveisfavoráveis = passo 4: 53 · totaltotal = passo 3: 81

P=5381=53 /81P = \frac{53}{81} = \boxed{53\ /81}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter numerador e denominador, ou simplificar incorretamente.

Resposta: 53/81 (alternativa D)

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