Matemática · FGV · 2023 | Questão sqc-fg069355

Parábola: definição por foco e diretriz

Gabarito: letra A. A equação da parábola com foco $F(0,1)$ e diretriz $y=0$ é obtida impondo que a distância de um ponto $(x,y)$ ao foco seja igual à distância ao eixo das abscissas. Elevando ao quadrado e simplificando, chega-se a $2y = x^2 + 1$ , que é a alternativa A.

A parábola é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz). Essa definição é a base para deduzir a equação: para cada ponto $P=(x,y)$ da curva, vale $d(P,F) = d(P,r)$ . No caso, $F=(0,1)$ e $r: y=0$ .

A distância de $P$ ao foco é $\sqrt{(x-0)^2 + (y-1)^2}$ . A distância de $P$ à reta horizontal $y=0$ é simplesmente $|y|$ (a distância de um ponto a uma reta horizontal é o módulo da diferença das ordenadas). Igualando:

\sqrt{x^2 + (y-1)^2} = |y|

Elevando ambos os lados ao quadrado (válido, pois ambos são não negativos):

x^2 + (y-1)^2 = y^2

Expandindo o quadrado:

x^2 + y^2 - 2y + 1 = y^2

Cancelando $y^2$ dos dois lados:

x^2 - 2y + 1 = 0

Isolando $y$ :

2y = x^2 + 1

Essa é exatamente a alternativa A. Note que o vértice da parábola é o ponto médio entre o foco e a diretriz: $V = (0, \tfrac{1}{2})$ , e o parâmetro $p$ (distância do foco à diretriz) é $1$ . A concavidade é voltada para cima, pois o foco está acima da diretriz.

Distribuição de alternativas — só Corretas: 1; só Incorretas: 4; Corretas∩Incorretas: 0

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a equação correta é $2y = x^2 + 1$ . Ela representa uma parábola com concavidade para cima, vértice em $(0, \tfrac{1}{2})$ , foco em $(0,1)$ e diretriz $y=0$ . A dedução pela definição de equidistância confirma a alternativa.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A equação $3y = 2x^2 + x + 2$ não satisfaz a condição de equidistância. Por exemplo, o ponto $(0, \tfrac{2}{3})$ pertenceria a essa parábola, mas sua distância ao foco $F(0,1)$ é $\tfrac{1}{3}$ , enquanto a distância à diretriz $y=0$ é $\tfrac{2}{3}$ — não são iguais. Além disso, o termo linear em $x$ deslocaria o eixo de simetria, o que não ocorre na parábola pedida (cujo eixo é o eixo $y$ ).

Alternativa C — ❌ Incorreta

$4y = x^2 + 4$ pode ser reescrita como $y = \tfrac{x^2}{4} + 1$ . O ponto $(0,1)$ pertence a essa curva, mas sua distância ao foco $F(0,1)$ é $0$ , enquanto a distância à diretriz $y=0$ é $1$ — não são iguais. Logo, não é a parábola pedida.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$y = x^2 + 2x - 1$ tem termo linear em $x$ , o que desloca o eixo de simetria para $x = -1$ . A parábola pedida tem eixo de simetria vertical passando por $x=0$ (o foco e a diretriz estão sobre o eixo $y$ ). Portanto, a equação não corresponde à configuração dada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$y = 2x^2 + 2x - 2$ também possui termo linear em $x$ , deslocando o eixo de simetria. Além disso, o coeficiente de $x^2$ é 2, o que alteraria a abertura da parábola. Não satisfaz a definição de equidistância com o foco e a diretriz fornecidos.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a equação da parábola com vértice na origem ( $x^2 = 2py$ ) e a forma geral com vértice deslocado. Aqui o vértice não está na origem, mas em $(0, \tfrac{1}{2})$ . Muitos candidatos tentam encaixar a fórmula $x^2 = 2py$ diretamente, esquecendo de considerar o deslocamento vertical. A dedução pela definição de equidistância evita esse erro.

PEGA ESSA DICA!

Sempre que a questão fornecer foco e diretriz, use a definição: iguale a distância ao foco com a distância à diretriz. Eleve ao quadrado e simplifique. Esse método funciona para qualquer parábola, independentemente da posição do vértice.

Gabarito: letra A